— 3 — 
Se i due punii V' e V" coincidono col punto V, la loro retta comune v diverrà la 
retta tangente della linea di 2 0 ordine in V, e si potrà supporre che le coordinate di 
questa retta tangente siano date da 
v1 t z=(bc)b t c t = tf t , vV t = (ca)c t a t = b\ , vV 3 =(ab)a t b t = c\. (6) 
Similmente supponiamo le coordinate (V, , V, , V 3 ) di una retta v in un piano pro- 
porzionali a tre forme binarie quadratiche , ponendo simbolicamente 
W, = (A, T, + A a T,)' = A\ , W 8 = (B.T, + B 2 T 2 ) 2 = B\ , VV 3 = (C, T, + C 2 T 2 ) 2 = C= T ; (1) 
ad ogni valore del parametro T^T, : T 2 corrisponderà una retta v nel piano; il sistema 
delle rette v, variando T, sarà un inviluppo di 2 a classe, poiché ad un punto qualunque 
V, di coordinate (v { ,v 2 ,v 3 ),o sia rappresentato dall'equazione 
».v.=o_, 
appartengono le sole due rette del sistema, che corrispondono ai due valori di T de 
dotti dall'equazione di 2 0 grado 
v , k\ + », B 2 t + », C\ = 0 . (2) 
Se le radici di (2) sono eguali , il punto V è punto di contatto dell' inviluppo di 
2 a classe, sicché si otterrà l'equazione di questo inviluppo, in coordinate di punti, egua- 
gliando a zero il discriminante di (2); si avrà così 
v \ A 2 ) +'-. i B J , + v 3 C\ , » 1 A 1 A t + » a B 1 B a + » 3 C 1 C s 
r.A'.A'. + ^B'.B'. + ^C^C, , r 4 A"\ 2 + r 2 B% -\-v 3 C\ 
= 0, 
(indicando con A', B, C simboli equivalenti ad A., B, C), onde 
(AAT v\ + (BB ) 2 v\ + (CC) 2 »*, + 2(BCy 3 », v 3 + 2(C A) 2 », », + 2(AB) 2 », », = 0 . 
I coefficienti in questa equazione sono i discriminanti delle forme quadratiche 
fondamentali A 2 T , B\ , C% , e gl'invarianti simultanei delle medesime forme combinale 
a due a due; indicandoli con 
S 11 = (AA) 2 , S 22 = (BB)> , S 33 = (CC) 2 , S 23 = (BC)' , S 8I = (CA)« , S I8 = (AB)*, 
l'equazione dell'inviluppo di 2 a classe, in coordinale di punti, sarà dunque 
F = S iì v\ + ...+2S ìì v ì v 3 + . ..=0, (3) 
o simbolicamente 
F .-= (S, r, + S,t>, + s 3 v 3 y = s% = 0 . 
II discriminante della forma ternaria quadratica F si esprime per mezzo dell'inva- 
riante simultaneo 
S t „ = -(BC)(CA)(AB), 
