(dinotando P , p simboli equivalenti a P , p) , quindi l'equazione differenziale diverrà 
o sia 
(t^t, — t^d O k -f (T, dT ì — T 2 c*T,) K = 0 , 
(tdt) (TdT) 
- + 
K(pp)V«p"V> K^yp'xP 
= o 
(ii) 
Le espressioni sottoposte al radicale in (i i) sono i discriminanti di (io), conside- 
rata come forma quadratica in (T t , T 2 ), o in [t t1 t 2 ), i quali, come è facile vedere, sono 
anche i discriminanti delle equazioni (8), considerate come forme quadratiche in (t \,t\), 
o (f , t\) o pure in (T \ , T,) , o (T . T ,) . L' espressione sottoposta al primo radicale si 
annullerà per i valori di t che corrispondono ai punti comuni ai sistemi F ed F, e l'es- 
pressione sottoposta al secondo radicale si annullerà per i valori di T che corrispon- 
dono alle rette comuni ai sistemi f ed f. 
Siano x ed y i valori di t che corrispondono ai due punti che la retta v, determi- 
nata da T, ha di comune col sistema F, e siano X ed Y i valori di T che corrispondono 
alle due rette che il punto V, determinato da t, ha di comune col sistema/"; l'equazio- 
ne (i i) applicata successivamente ad {x , T), (y , T), e ad (X , t) , (Y , t) , darà 
(xdx) 
(TrfT) 
(XdX) 
(YdY) 
V{pp'f P\ P' 2 x V{pp f PS P' 2 , 
K(ppO*p*tF , t ' 
(tdt) 
(12) 
L'equazione (12) fra (x , y) , 0 fra (X , Y), è un'equazione differenziale ellittica, di 
cui un integrale è dato dalla prima, 0 dalla seconda, dell' equazioni (8), cambiando in 
esse f, f in a;, y , e f, T" in X , Y, cioè da 
S tl , S la , S 13 , a x a u 
s„, s„, $**,K\ 
^31 ' ^3? ' ^33 ■ Cj, 
K*y . KK . c x c y , 0 
= 0, 
^11 > ^1 2 1 ^13 ' ^ Y 
*21 ' *22 ' *23 J ^ Y 
s 31 , s 31 , S33 , C x C Y 
A X A Y , B X B V , C X C Y , 0 
0 ; 
(13) 
l'integrale è completo, poiché mentre l'equazione differenziale (12) dipende solamente 
dai quattro punti comuni ai sistemi F ed F , 0 dalle (piatirò rette comuni ai sistemi f 
ed f, nell'integrale (13), rimanendo fisso il sistema F 0 f, si può supporre che Fsia un 
sistema qualunque di 2 0 ordine, cui appartengono quei quattro punti, 0 che /"sia un 
sistema qualunque di 2 a classe, cui appartengono quelle quattro rette; ciò evidentemen- 
te iidroduce nell'integrale una costante arbitraria. 
3. Per rendere più semplici le relazioni trovate precedentemente, facciamo alcune 
supposizioni intorno alle forme fondamentali. In ciascuna delle terne di forme binarie 
quadratiche (a t , b'\ , c\), (A\ , B\ , C\.) , supponiamo che le forme siano a due a due 
armoniche tra loro, ovvero che si annullino i loro invarianti simultanei; sarà allora 
