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e si ha ? = (u 0 u) (u 0 u) = 0. In tal caso gli elementi uniti sono gli stessi elementi 
singolari u 0 ed u 01 e l'equazione (4) prenderà l'ima 0 l'altra delle forme u t m" 2 = 0, 0 
li, u\ = 0. L'invariante K si dirà il discriminante della forma bilineare <p. 
Finalmente allorché J = 0, i due elementi uniti della dipendenza proiettiva sono 
tra loro coincidenti; allora questi elementi uniti non potendosi prendere più come ele- 
menti fondamentali, l'equazione (1) non potrà ridursi alla forma (4), se non quando La 
dipendenza proiettiva è identica, vale a dire quando due elementi corrispondenti qua- 
lunque sono tra loro coincidenti; ciò ha luogo quando a u =0, a tì + a ìt = 0, a 22 = 0, e 
rispetto a due elementi fondamentali qualunque sarà allora u\ù\ — u\u \ = 0, 0 sia 
u'=u. Nel caso generale di J = 0 , prendendo per elementi fondamentali quello nel 
quale coincidono i due elementi uniti (^=0) , ed un altro elemento qualunque 
u\ («a = 0), P equazione (1) si ridurrà alla forma 
u u\ u" oì 1 I 1 
u t u\ u ul ' u" u u\ ' 
dove a 0 è l'elemento corrispondente all'elemento fondamentale u 0 . 
Ritornando all'equazione generale (4), se nella dipendenza proiettiva si prende 
di un elemento qualunque u" il corrispondente u, di u il corrispondente u", e così di 
seguito, si avrà dopo n volte questa operazione u [n) =p n u° , sicché coinciderà u (n) con a 0 
(qualunque sia questo elemento) quando p B = 1, 0 sia quando p è una radice n ma pri- 
mitiva dell'unità; si avrà allora 
I 1 + p 2|iw 2fiTi 
— — = ; , essendo p = cos \- i seri 
y 3 l-p r n a 
({i numero primo con n ed inferiore ad n), onde P=4 cos 1 ~K ; la dipendenza si 
dirà in tal caso ciclicamente proiettiva, 0 periodica d'ordine n. Allorché gli elementi 
uniti coincidono tra loro, la relazione tra gli elementi u" ed u (n) sarà \ = n ; in 
tal caso la dipendenza proiettiva non potrà essere periodica. 
1. Siano ora due forme bilineari espresse da 
cp = (a'»') (a' u") == 0 , ^=,(òu'){b"u") = 0 , (1) 
e si consideri la serie semplicemente infinita di forme bilineari rappresentate da 
variando il rapporto a : 8. Ponendo 
!. = «,. -*,, = [«« | , l 6 = 6„ — «„ = [*'*"] , (2) 
tra le torme della serie ve ne sarà una in involuzione (o sia per la quale si annulla 
l'invariante 1), determinata dalla condizione « l a + 3 I 6 = 0. Inoltre ponendo 
K~=«*i«»— ««««= j[«V„![aV;] , K M = 4 11 i, ì -i 12 i 31 r:i[i'4 x ]fiTJ , 
(3) 
-Ko* = «h hi — «a K — < l n ò u + *m *n = [«'*'J [«*"*"] , 
