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o pure dalla seconda delle equazioni (6), sono quelli che determinano le due rette v u , 
o pure le due rette v u ', tangenti al loro inviluppo comune 2, che passano pel punto V. 
Se x, y sono i due valori di a', ed x", y i due valori di u ricavati rispettivamente 
dalla prima, e dalla seconda delle equazioni (6), essi si potranno far corrispondere in 
modo che x ed x", come pure y ed y' , siano tra loro nella dipendenza espressa da una 
qualunque delle equazioni (7) , sicché x ed x", 0 pure y ed y", determineranno due 
rette v u e v u ' coincidenti con una stessa tangente v x , 0 pure v y , di 2, ed il punto co- 
mune a queste due rette p e u y sarà il punto V del piano; adunque nella rappresentazio- 
ne dei punti del piano, per mezzo di una coppia di elementi in una forma geometrica 
di i a specie (x\y") ed (y',x) saranno due coppie di elementi rappresentativi di uno 
stesso punto V del piano. 
I punti V del piano per i quali u =u =u hanno le loro coordinate espresse da 
vv ì — (a u) (au) , vi\ = (b'u) (b'u) , vv 3 = (cu) (c'u) ; 
essi costituiscono una linea di 2 0 ordine, infatti ad una retta qualunque v (di coordi- 
nate V, , V, , V 3 ) appartengono i due soli punti V del sistema, che corrispondono ai due 
valori di u dedotti dall'equazione di 2 0 grado 
V, (àit) (au) + V, (b'u) (b'u) + V 3 (cu) (cu) = 0 , (8) 
cioè dall'equazione (i) in cui si è posto uz= u = u. L'equazione, in coordinate di ret- 
te, di questa linea di 2 0 ordine si otterrà eguagliando a zero il discriminante della for- 
ma quadratica in u espressa da (8), e quindi, per le cose dette innanzi, l'equazione ri- 
chiesta sarà la (4); adunque per ogni punto V della linea di 2" classe 9, i valori cor- 
rispondenti di li e di u sono eguali: il loro valore comune u si otterrà eguagliando a 
zero la derivata di (8) rispetto ad u, , 0 ad w 2 ; v è la tangente di 0 in V. Le coppie di 
elementi rappresentativi di quel punto V, (x, tf) ed (y\ x") sono tali che nell'una, e nel- 
l'altra coppia gli elementi sono tra loro coincidenti. 
Supponiamo che si abbia 
a a — a ìi — 0 > b ìì = b ìi = ° > a 2ì =zb il= 0 , e a = c 22 = 0, 
a \l —~ C M ' b 22 C iì > 
sarà 
^ = 0 , K M = 0 , < e = -c la c M ; K Je = 0 , K co = 0 , 2K o6 = c, 2 c 21 , 
Jaa = 0 , J 66 = 0 , J cc = (C 12 + 0 2 ,r ; J fte =:0 , = 0 , J a6 = - 2c, s C SI ; 
con ciò le coordinate (v t , i\ , Va) di un punto V saranno espresse da 
vv l = c n <, vv a = c 12 w 2 w" a , vv 3 = c 12 u\ m" 2 -f- c 2 , u\ m", , 
e le equazioni (2) , (3) e (4) si ridurranno rispeUivamente a 
* 3 u : M ' 2 y 3 ' * 1 Y 2 a v 3 
4t 12 C 21 
le supposizioni fatte equivalgano adunque a prendere per triangolo fondamentale quello 
costituito dalle tangenti condotte dal punto V 0 alla linea di 2 a classe 2 , e dalla corda 
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