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di u o pure di u varia da punto a punto , si vedrà facilmente come appunto 2 sia il 
luogo delle rette io e »", vale a dire la superficie n, luogo di punti, e la superficie 2^ 
inviluppo di piani, costituiscono una stessa superficie di 2° ordine e di 2 a classe; per 
ogni piano tangente v di 2 l'equazione (2) decomponendosi in due fattori, lineari ri- 
spettivamente in vi ed u", i valori di u ed u", corrispondenti rispettivamente alle gene- 
ratrici to' e w di ft, appartenenti a v, si otterranno eguagliando a zero il primo, 0 il 
secondo, di quei fattori. 
I punti V del sistema (0 sia di n) per i quali u=u —u hanno le loro coordinate 
espresse da 
vi\ = (a u) (a'u) , w t ,= (b'u) (b"u) , vv 3 — (c'ii)(c'h) , vv i 2= (d'u) (d'u) ; 
essi costituiscono una linea di 2 ordine, intersezione di il col piano v Q rappresentato 
dall'equazione 
W 2 
» ^3 > 
«11 
. hi 
1 C ll > 
d u 
«11 + «21 
: C 12 "1 C 21 
d tì -(- 
«2-2 
' ^22 ' 
rf 22 
infatti ad un piano qualunque v (di coordinate Vj.V^V, ,V 4 ) appartengono i due 
soli punti V del sistema, che corrispondono ai due valori di u dedotti dall'equazione di 
2 0 grado 
V, (a'u) (a'u) + V 2 (b'u) (b"u) + Y 3 (cu) (cu) + V 4 (d'u) (d'u) = 0 , (9) 
cioè dall'equazione (2) in cui si è posto u =u" = u; inoltre eliminando tra le equazioni 
proposte m 2 , , u ì w 2 , ir 2 si perviene all'equazione (8). L'equazione, in coordinale di piani, 
della suddetta linea di 2 0 ordine si otterrà eguagliando a zero il discriminante della 
forma quadratica in u espressa da (9), e quindi, per le cose dette innanzi, l'equazione 
richiesta sarà la (5); adunque l' inviluppo di 2 a classe 0 non è che una conica; per ogni 
punto V di questa conica i valori corrispondenti di u e di u sono eguali; il loro valore 
comune u si otterrà eguagliando a zero la derivata di (9) rispetto ad m, 0 ad u 2 ; v è un 
piano tangente di 0 in V. 
Dovendo essere nullo il discriminante di 0, se s'indica con K il discriminante di 
2, e con (K,I) la somma delle derivate di R rispetto a ciascuno dei suoi elementi K,, 
(per ij, = a, b, c, d), moltiplicate rispettivamente perl.L,, si avrà tra gl'invarianti 
delle quattro forme bilineari proposte la relazione 
(K,I) — 4K = 0. (10) 
Supponiamo che i piani v i = 0, e v 2 = 0 siano tangenti di 2 in due punti V , V" di 
0, e che i piani v 3 = 0 e v 4 = 0 siano i piani tangenti di 2 condotti per la retta V V : 
si vedrà facilmente , per le cose dette , che si potrà supporre per un punto qua- 
lunque V, 
