appartenenti a d, si osservi che in d le rette corrispondenti (r',r") appartenenti a due piani cor 
rispondenti (F, P") formano due serio semplici omografiche di rette, e con i loro piani comuni r'r" 
costituiscono un cono di 2 a classe a, al quale appartengono evidentemente i piani doppi (A.B,C); 
due di questi coni (<7 t ,o>) corrispondenti alle coppie di piani (P/,P<"), (P/,P/) hanno di comune 
il piano comune alle rette (P/P/ , P/'P/) , ed i piani doppi richiesti. Volendo le rette doppie 
(l,m,n) appartenenti a d, si osservi che in d i piani corrispondenti (P',P") appartenenti a due 
rette corrispondenti (r',r") formano due serie semplici omografiche di piani, e con le loro rette 
comuni P'P" costituiscono un cono di 2° ordine 2, al quale appartengono evidentemente le rette 
doppie (l,m,n); due di questi coni (2 ,2,) corrispondenti alle coppie di rette (r/.r/'), (r/,r/) 
hanno di comune la retta comune ai piani (r t .'r/, r t 'r/) , e le tre rette doppie richieste. Cono- 
sciuta una delle rette doppie, supponiamo 1, se le coppie di piani (P/, P/') ; (P/, P/) appartengono 
ad 1, ciascuno dei coni (ff*,o>) si ridurrà ad 1, e ad un'altra retta (r 4 ,r>), ed il piano r f r^ sarà il 
piano doppio A; costruito quindi uno dei coni di 2° ordine 2, le rette di 2 appartenenti ad A 
saranno le altre due rette doppie m ed n. Similmente conosciuto uno dei piani doppi , supponia- 
mo A, se le coppie di rette (r/, r/') , (r/,r/) appartengono ad A, ciascuno dei coni (2,2) si ri- 
durrà ad A, e ad un altro piano (P f , Pj), e la retta P;Pj sarà la retta doppia 1; costruito quindi uno 
dei coni di 2 a classe a, i piani di a appartenenti ad 1 saranno gli altri due piani doppi B e C. 
2. Complesso di rette appartenente al connesso. — Riferiamo il connesso al tetraedro ( q, Q ) 
degli elementi doppi, indicando con (a, p, y, 8) delle costanti (assoggettate, come è lecito suppor- 
re, alla condizione <y.$x$=l) all'equazione del connesso potrà darsi l'ima o l'altra delle forme 
a d A' + j3 Uff + v c C 4- i d D" = 0 , 
a" A' , b'ff , c"C , d'D n 
—+—+—+— =»• 
e la dipendenza omografica tra i punti (p, p") , i piani (P', P") , e le rette (r, r" ) , o (R', R" ) , cor- 
rispondenti del connesso sarà espressa dalle equazioni 
a" : d == a , b" : b' = p , c" : e —y , d' : d = 8 , 
A' : A" = cc , E : B' = $ , C : C'=y , D' : D"=S , 
(2) 
r:f=£y,... r.:tó.** r .A; F : F" = fr , . . . L' : U=*$ , . . . . 
Ai diversi casi di eguaglianza tra le costanti (a, j3, y, 5) corrispondono i casi speciali dell'omo- 
grafia. 
Consideriamo le rette r ed R comuni alle coppie (p, p") , e (P', P") di punti, e di piani , cor- 
rispondenti; ogni retta r è anche una retta R, e viceversa; infatti se (p'_ 2 , P' ,) è (p,", P/') sono i 
punti ed i piani corrispondenti rispettivamente a (p', P') e (p ", P") passando dalla seconda figura 
alla prima, e dalla prima alla seconda, la retta p'p", o P'P", comune ai punti (p', p") , o ai piani 
(P', P"), corrispondenti, sarà anche la retta comune ai piani (p^p p ", p p p,) , o ai punti 
(P'_jP'P", P'F'Pj") corrispondenti. Le rette (r,R) sono le rette che in ciascuna delle due figure 
si appoggiano alle rette corrispondenti nell'altra figura. Per costruire le rette (r,R) appartenenti 
insieme ad un punto e ad un piano, consideriamo due punti corrispondenti (p , p ) appartenenti 
ai piani corrispondenti (P',P"); le rette corrispondenti (r',R), ed (r",IV) appartenenti insieme 
ai punti e piani (p',F) e (p", P") determinano con la retta P'P", o con la retta p'p", serie sem- 
plici omografiche di punti, o di piani; ai due punti, o ai due piani, doppi di queste serie appar- 
tengono le rette richieste (r,R) appartenenti a (p',P ) ed a (p", P"). Segue da ciò che le rette 
(r,R) costituiscono un complesso (0,6) di 2° ordine e di 2 a classe *). 
') Reye — Geometrie der Lage. 
