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Si suppongano i rapporti a : p : y :8 diversi dall'unità; non potranno coincidere p v con p o , 
P,. con P (| , r o R, con r 0 o R n , se non quando coincidono p 0 , P 0 , r 0 o R (1 rispettivamente con uno 
dei vertici, con una delle facce, e con uno degli spigoli del tetraedro fondamentale; adunque 
due figure omografiche consecutive d'ordine qualunque hanno sempre in generale gli stessi ele- 
menti doppi. 
Considerando i piani p o (F, . . . L , . . . ) , o i punti P 0 (f , . . . 1 , . , . ) , si vedrà facilmente per- 
le formole (2) , che i piani p. (F , ... L ,...), p_ t . (F , ... L ,...), o i punti P ! . (f , . . . 1 , . . . ), 
P .(f , . . . 1 , . . .) , per i = oo coincideranno con le facce, o con i vertici del tetraedro fondamen- 
tale, e quindi i punti (p., p^.), o i piani (P,., P_.), si avvicineranno al crescere di i a due vertici, 
0 a due facce di quel tetraedro; adunque nelle figure omografiche consecutive due elementi doppi 
reali (due punti, due piani, due rette) sono limiti ai quali si avvicinano rispettivamente i punti, 
1 piani , le rette che corrispondono consecutivamente ad un punto , ad un piano , ad una retta 
qualunque , crescendo positivamente e negativamente l' indice che dinota V ordine di quegli ele- 
menti corrispondenti. 
Chiamiamo elementi coniugati rispetto ad un tetraedro due punti (p^ , p„) , due piani (P^ , P j 
e due rette (iv,i\) o (R a ,R,), quando tra le loro coordinate, rispetto a quel tetraedro, preso 
per tetraedro fondamentale , si hanno le relazioni 
a lli a,'==bpì) v =c (t c t =d fl d, , A fx A v = B v = 0^0, = D /x D, , 
f, f*-; ..*=£*»«*>..., = . . =L^L V = ... ; 
allora, per le formole (2), se i punti (p 0 , p_ 0 ), i piani (P 0 , P_ 0 ), e le rette (r 0 ,r_ 0 ) o (R 0 , R_ 0 ) sono 
elementi coniugati rispetto al tetraedro degli elementi doppi del connesso, anche i loro elementi 
corrispondenti consecutivi, di ordini eguali e di segni contrari (p f ,p_ f ), (P t -, P_), (r , r_J o 
(R.,R .) saranno elementi coniugati rispetto allo stesso tetraedro. 
Per due elementi consecutivi (p,., p_ t .), (P^P^), (r^rj o (R.,R_.) di uno stesso elemento 
p 0 , P 0 , r 0 o R 0 , si hanno le relazioni 
a-i a_i —af , =b 0 2 , e i c_ i =c 2 , d i d_, = d 0 2 , 
(3) A i A^ i =A 0 * , B t a^=B* t CiC^CJ, D i D_ i = D 0 - , 
/;/_,=r 0 2 , • • • hL t =l 0 2 , • • - ; F t F^==F* , . . . L^^L* 
dalle quali si deduce facilmente che i piani armonici di p 0 ( F , . . . L , . . . ) rispetto alle coppie di 
piani F(p,, p_ ; ) L (p t , p_ ; ) , ... sono anche i piani armonici di p 0 (F,... L,...) rispetto alle cop- 
pie di piani (B,C),...(A,D),...,e che i punti armonici di P 0 ( f , . . . 1 , . . . ) rispetto alle 
coppie di punti f (P t -, P_.) , . . . 1 (P, ., P_.) , . . . sono anche i punti armonici di P 0 (f , . . . 1 , . . .) ris- 
petto alle coppie di punti (b,c),... (a, d) . . . : per la proprietà analoga relativa alle rette 
(r 0 , r t . , rj o ( R 0 , R t , R_.) si considereranno i punti (p 0 , p, , p_ ; .) , o i piani (P 0 , P. , P_ f ), che esse 
hanno di comune con ciascuna faccia , o con ciascun vertice del tetraedro (q, Q). 
Supponiamo che per un valore k di i si abbia una delle relazioni *) 
i ,\ r>h h h h h oh h jsh. ah $h h $k 
(sicché le figure omografiche consecutive d'ordine k siano in prospettiva di 1 a specie ) , onde 
p : y = e , . . . a : d =e 
)Mem. sulle involuzioni dei diversi ordini. Atti dell' Accad. Voi. 1, 1863; e Voi. II, 1865. 
