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( e base neperiana , « rapporto della circonferenza al diametro , x numero intero qualunque ) ; al- 
lora uno dei piani p 0 ( F , . . . L , . . . ) coinciderà con uno dei piani (F , . . . L , . . . ) ed uno 
dei punti P tì ( f , . . . 1 , . . . ) coinciderà con uno dei punti P ft (f , . . . 1 , . . . ) ; si diranno in tal caso 
le figure omografiche in involuzione parziale d' ordine k , relativa ai piani che appartengono ad 
uno spigolo del tetraedro Q , ed ai punti che appartengono ad uno spigolo del tetraedro q [ spi- 
golo opposto al primo in (Q,q)], e quindi relativa alle rette che appartengono insieme ad un ver- 
tice e ad una faccia di quel tetraedro ( in ciascuna supposizione per due di quei vertici e di quelle 
facce). Se poi si verifica una delle coppie di relazioni 
(5) p fc =z 7 fc , «* = **; y*==a* , /5* — « fc =j3*, 7*=**, 
(sicché le figure omografiche consecutive d' ordine k siano in prospettiva di 2 a specie) , l'involu- 
zione parziale d' ordine k sarà relativa ai piani ed ai punti che appartengono a due spigoli oppo- 
sti del tetraedro (Q , q) , e quindi relativa alle rette appartenenti insieme ad un vertice e aduna 
faccia di quel tetraedro ( in ciascuna supposizione per tutti e quattro quei vertici , e per tutte e 
quattro quelle facce). 
Supponiamo in secondo luogo che per l' indicato valore A; di i si abbia una delle relazioni 
(6) (3 fc =— y*, 7*=— .«*; x h = — |3*, — (3*=— <?*, 7*=— ** , 
onde 
(2*-fl)* (2. + 1K 
A . k 
p : yz=e 3= e , . .... ; 
allora una delle coppie di piani F ( p 0 , p ft ),..". L ( p 0 , p t ),.. . sarà armonica rispetto ad una 
delle coppie di piani (B , C ) , . . . ( A , D ) , . . . , ed una delle coppie di punti f (P 0 , P k ) , . . . 
1 ( P ft , P A ) , . . . sarà armonica rispetto ad una delle coppie di punti (b , c ) , . . . ( a , d ) . . . ; si 
diranno in tal caso le figure omografiche in involuzione parziale d'ordine 2k, involuzione di 
piani rispetto ad uno spigolo del tetraedro Q , ed involuzione di punti rispetto ad uno spigolo del 
tetraedro q [spigolo opposto al primo in (Q,q)]; come conseguenza si avrà l'involuzione delle 
rette che appartengono insieme ad un vertice e ad una faccia di ( q , Q ) , (in ciascuna supposi- 
zione per due di quei vertici, e per due di quelle facce). Se poi si verifica una delle coppie di 
relazioni 
(7) p*=— 7* , ** ; 7*=--** , jS*=— **; * k =— (3*, / = — 
l' involuzione parziale d'ordine 2 k sarà involuzione di piani e di punti rispetto a due spigoli op- 
posti del tetraedro (Q, q); come conseguenza si avrà l'involuzione delle rette che appartengono 
insieme ad un vertice e ad una faccia di (q, Q) , (in ciascuna supposizione per tutti e quattro 
({nei vertici, e per tutte e quattro quelle facce). 
Sia ora soddisfatto uno dei sistemi di equazioni 
/o\ fch k yk m k k yk k r>k yk k nk k 
i sicché le figure omografiche consecutive d'ordine k siano in prospettiva di 3 a specie); coinciderà 
il punto p 0 col punto p A , ed il piano P 0 col piano P A , quando appartiene quel punto ad una delle 
facce, e quel piano ad uno dei vertici del tetraedro (Q,q), ed una delle rette p 0 (a,b,c,d), 
e P ( A , B , C , D ) coinciderà con una delle rette p A ( a , b , c , d ) , e P /t ( A , B , C , D ) ; si diranno 
in tal caso le figure omografiche in involuzione parziale d'ordine /«, relativa ai punti, e quindi 
alle rette, che appartengono ad una faccia del tetraedro Q, e relativa ai piani, e quindi alle ret- 
te . che appartengono ad un vertice del tetraedro q [vertice opposto a quella faccia in (q , Q ) ]• 
Si vedrà facilmente la natura dell' involuzione allorché si verificano insieme due delle rela- 
zioni (fi) , o pure una delle relazioni (i) compatibilmente con una delle relazioni (6). 
