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saponiamo ancora che sia soddisfatto uno dei sistemi di equazioni 
(9) p* = / = — = — 7 fc = «* = — 0*=— **, « k = (5 k = _ 7 * = — <?*, 
sicché si abbia un'involuzione parziale d'ordine A;, di punii e di piani, rispetto a due spigoli 
opposti del tetraedro (q,Q), ed inoltre si abbiano altre involuzioni parziali d'ordine 2/c, di 
punti e di piani, rispetto agli altri spigoli opposti dello stesso tetraedro; in tal caso i punti 
(p 0 , p fc ) saranno armonici rispetto ai due punti che la retta p 0 p A ha di comune con quei primi due 
spigoli del tetraedro q, ed i piani (P 0 ,P A ) saranno armonici rispetto ai due piani che la retta 
P ft P, t ha di comune con quei primi due spigoli del tetraedro Q. Se poi sia soddisfatto uno dei 
sistemi di equazioni 
(10) 
h cik h h ck K fh 
a = _ p — 7 =zà , a = p — — 7 =o 
a* — (3*— y*=— <?* , 
sicché si abbia un' involuzione parziale d' ordine k , di punti rispetto ad una faccia del tetraedro 
Q , e di piani rispetto al vertice opposto del tetraedro q , ed inoltre si abbiano involuzioni par- 
ziali d' ordine 2 k , di piani rispetto agli spigoli di Q appartenenti a quella faccia , e di punti ris- 
petto agli spigoli di q appartenenti a quel vertice , in tal caso i punti (p 0 , pj saranno armonici 
rispetto alla coppia costituita da quel vertice di q insieme al punto che la retta p o p A ha di comune 
con la faccia opposta di Q, ed i piani (P 0 ,P A ) saranno armonici rispetto alla coppia costituita da 
quella faccia di Q insieme al piano che la retta P 0 P A ha di comune col vertice opposto di q. 
Finalmente se si suppone 
(11) a fc = p fc = 7 k = **, 
(sicché le figure omografiche consecutive d'ordine k siano tra loro coincidenti) si avrà per le fi- 
gure omografiche proposte V involuzione totale d'ordine k. 
Risulta dalle forinole precedenti che , se le figure omografiche proposte sono reali , per le 
involuzioni di ordine superiore al secondo , nelle supposizioni (4) e (6) due punti doppi , e due 
piani doppi delle figure sono immaginari , e nelle supposizioni (8) due punti doppi , e due piani 
doppi sono immaginari , e gli altri due punti doppi , e due piani doppi sono reali : nelle suppo- 
sizioni poi (5), (7), (9), (10), (11) i quattro punti doppi ed i quattro piani doppi sono immaginari. 
1 punti doppi, ed i piani doppi immaginari, per ciascuna involuzione (d'ordine k^>2) possono 
essere diversi (appartenendo sempre alle due rette doppie reali delle figure) per l'indeterminazione 
del numero x. E chiaro inoltre che se k=zkk a . . .k., le involuzioni relative al numero k com- 
12 i * 
prenderanno quelle relative ai numeri k x , k %ì . . . . Nelle involuzioni parziali , di ordine k^> 2 , 
di punti , o di piani , appartenenti ad una retta doppia , o pure di rette appartenenti insieme ad 
un punto doppio, e ad un piano doppio, tre punti, o tre piani, consecutivi (p. t , p 2 , p. +1 ) , o 
(P._, , P, , P i+1 ) *) determineranno con ciascuno dei due punti doppi, o dei due piani doppi, appar- 
tenenti a quella retta doppia, o pure tre rette consecutive (r^ , r. , r vl ) , o (R._ t , R, -, R^), deter- 
mineranno con ciascuna delle due rette doppie appartenenti insieme a quel punto doppio , ed a 
quel piano doppio, un rapporto anarmonico eguale ad una radice immaginaria k ma dell'unità po- 
sitiva , o negativa , secondo che 1' ordine k dell' involuzione è pari , o dispari. 
Cerchiamo ora la linea X, la sviluppabile x, e la superficie (Y, <\>) , alle quali appartengono 
rispettivamente i punti p . , i piani P , e le rette ( r t , R ; ) che corrispondono consecutivamente ad 
un punto p 0 , ad un piano P 0 , e ad una retta (r o ,R 0 ) nel caso più generale dell'omografia. Es- 
sendo per le formole (2) 
".) Meni. cit. sulle involuzioni dei diversi ordini. 
