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se si elimina i dal primo o dal secondo sistema di queste equazioni , si troverà 
(12) 
e due qualunque delle equazioni , nel primo , o nel secondo di questi sistemi , determineranno la 
linea X, o la sviluppabile x- Alla linea X, o alla sviluppabile appartengono quei punti, o quei 
piani doppi , che sono i limiti ai quali si avvicinano i punti p, , o i piani P, , al crescere positiva- 
mente e negativamente , dell' indice i. 
In ciascuna delle equazioni (12) la somma degli esponenti è nulla, e quando quegli espo- 
nenti sono numeri razionali, X, ex saranno algebriche. Se alcuna delle quantità (a, p, y, &) è 
negativa , prendendo sempre i logaritmi dei valori assoluti dei rapporti fra quelle quantità , i 
punti p £ , o i piani P t . , per i pari apparterranno ancora a X , o a x , e per i dispari apparterranno 
invece alla linea, o alla sviluppabile, di cui le equazioni si deducono da (12) cambiando il segno 
ad una delle coppie di quantità , ~j , . . . (^j- , . 
Risulta dalla forma delle equazioni (12), che se si prende un punto, o un piano, qualunque 
appartenente alla linea X , o alla sviluppabile x , che corrisponde al punto p 0 , o al piano P 0 , i 
suoi punti, o i suoi piani, consecutivi apparterranno anche a X, o a %. Segue da ciò che se P 0 
è il piano di osculazione di X in p 0 , o p 0 è il punto di osculazione di x in P 0 , la linea X , e la 
sviluppabile % costituiranno uno stesso sistema (X,x) di punti e di piani. 
E notevole il caso in cui sia soddisfatta una delle relazioni 
allora si ha rispettivamente per una delle equazioni di X, o di x, 
(13) 
be 
a 2 
bc 
d 2 
BC 
A 2 
BC 
D 2 
^ ' 
B 0 C 0 
DJ 
ca 
b 2 
ca 
& 
CA 
B 2 
CA 
D 2 
C o a o 
V ' 
C c a o 
C 0 A 0 
C 0 A 0 
D 0 * 
ab 
C 2 
ab 
d 2 
AB 
C 2 
AB 
D 2 
a o b o 
a o b o~ 
\B 0 
A 0 B 0 ~ 
D 0 2 
sicché apparterrà in tal caso la linea X ad un cono di 2° ordine, e la sviluppabile x ad una linea 
ili 2 a classe; da ciò si deducono subito le condizioni affinchè appartenga X a due coni di 2° ordi- 
ne . e x a due linee di 2 a classe. Supponendo soddisfatto uno dei sistemi di equazioni 
onde «=±5, p=±5, y=±5 ; la linea X si ridurrà a due linee di 2° ordine (con i loro piani 
appartenenti ad una delle rette AD,BD,CD, ed armonici rispetto ad una delle coppie di piani 
