(A,D), (B,D), (C,D)J, ad una delle quali linee apparterranno i punii p, peri pari, ed all'altra 
i punti p. per t dispari, se si prenderanno nelle condizioni precedenti i segni inferiori; e simil- 
mente la sviluppabile / si ridurrà ad uno fra due coni di 2 a classe [con i loro vertici appartenenti 
ad una delle rette ad,bd,cd ed armonici rispetto ad una delle coppie di punti (a,d), (b,d), 
(C, d)J, ad uno dei quali coni apparterranno i piani P. per ì pari, ed all'altro i piani P< per i di- 
spari, se si prenderanno nelle condizioni precedenti i segni inferiori. In generale, è chiaro che se 
le figure omografiche sono in prospettiva di l a specie, apparterrà la linea X ad un piano, e la 
sviluppabile '/ ad un punto, e se la prospettiva è di 2 a o di 3 a specie i punti p,-, e i piani P,, ap- 
parterranno tutti ad una retta. 
In quanto alla superficie (¥,40 alla quale appartengono le rette (r*,R{), essendo per le 
forinole (2) 
lo <o * L 
se si elimina i dal primo, 0 dal secondo sistema di queste equazioni, si avrà 
1 1 L 1 
(14) / f iiogfir /l \ioga5 / f \ lo str _ /L\ì°ga5 
VK) --- = \X) = -" ; Vf 0 ) = --- = Kl;) =•••' 
e tre qualunque delle equazioni , nel primo o nel secondo di questi sistemi , determineranno la 
superficie (Y, 4>). 
Se gli esponenti in (14) sono numeri razionali, la superficie (Y,4ò sarà algebrica. Valgono 
analoghe osservazioni, come sopra, se alcuna delle quantità (a, y, 5) è negativa. 
Risulta dalla forma delle equazioni (14) che se si prende una retta qualunque la quale sod- 
disfi a quelle equazioni, e quindi appartenga alla superficie (¥,40 che corrisponde alla retta 
(r 0 ,R 0 ), le sue rette consecutive apparterranno anche a (Y,^). Le rette che costituiscono que- 
sta superficie appartengono al complesso (0,6) rappresentato da una qualunque delle equazioni 
fi _ gm _ /m_ FL _ GM _ HN_ 
( fa K ~~ ìo< ~ KK 5 ~F~L 0 - GJf 0 - H 0 N 0 ' 
cioè al complesso costituito dalle rette che determinano con le facce , e con i vertici del tetrae- 
dro (Q, q) i rapporti anarmonici fondamentali di un gruppo di quattro punti, e di quattro piani, 
espressi da 
-Kn u :g 0 m 0 , ~f 0 i 0 : \n 0 , -ff 0 m 0 :f 0 l 0 ; -ff 0 N 0 : G 0 M 0 , -F o L 0 :H 0 N oì -G 0 M 0 :F 0 L 0 . 
La linea X, la sviluppabile e la superficie (Y,«^), allorché le quantità («,[3,y,&) sono 
positive , si trasformano evidentemente in loro stesse , per la trasformazione lineare che corris- 
ponde alle figure omografiche proposte *). 
4. Proprietà delle figure omografiche in relazione all'Assoluto. — Sia ($,9) la superficie 
di 2° grado (sistema di punti p e di rette r, 0 di piani P e di rette R) che si considera come As- 
soluto 0 Limite dello spazio**); come si vedrà in altro lavoro sulla Metrica proiettiva, l'egua- 
glianza degl'intervalli (distanze) nelle coppie di punti (p/,p/), (p«", p/) appartenenti alle rette 
(r, r"), o degl' intervalli (angoli diedri ) nelle coppie di piani (P.', P_.'), (P f ", P/) appartenenti 
alle rette (R", R") consiste nell'eguaglianza dei rapporti anarmonici che quelle coppie di punti, o 
di piani, determinano rispettivamente con le coppie dei punti, o dei piani, comuni a o a 9, 
ed alle rette (r, r") , o (R', R"); e l'eguaglianza degl' intervalli (angoli piani) nelle coppie di rette 
') F. Klein und S. Li e, Ueber die Curven, welche durch lineai en Transformationen in sich iibergehen. Math. Ann. Voi. IV. 
") Mem, 2 a sulla Geometria proiettiva. 
Atti — Voi. VII. — N.° 5. 3 
