« inos numeros nuUuiii dubium supcrcsse queal. Problema aiitcrn hic geminum traclat, 
« quorum alloro quaorilur, ({uot inodis datus numcrus in tol parles inecjuaics tantum, 
« quot rcquiruntui- , dissecari possil; in altero vero partium acqualitas non excluditur. 
« Ita in exemplo initio memorato invenit numerum 50 omnino 522 modis in septem 
« partes Inter se inequales distribuì posse; aequalitatc autem partium non exclusa, nu- 
« merum parlitionum omnium esse 891(5, qui ergo numerus quaestioni primum propo- 
« sitae satisfacit. 
« Pluribus aliis modis problema variari potest, dum scilicet singulae partes datae 
« indolis esse iubentur , veluli numeri impares, vel quadrati, vel termini progres- 
« sionis geometricae duplae, etc, partium numero vel praescripto, vel secus : Auctoris 
« autem mclhodus aeque patet ad omnia buiusmodi problemata solvenda. 
« Subiungit denique Auctor tabulam satis amplam , ex qua responsione^ ad ple- 
« rasque buius generis quaestionis sine ullo labore depromere licet; quae multo lon- 
« gius est continuata, quam in Auctoris Introductione in Analysin, ubi idem argumen- 
« tum iam tractaverat, hic autem studiosius expolivit. Caeterum haec Dlssertatio re- 
« ferta est plurimis tam egregiis artificiis, quam novis et notatu dignis observationibus 
« circa naturam serierum, unde elus usus multo latius patere videtur: ncque uUum 
« est dubium , quin ex eodem fonte plurima alia argumenta felicissimo cum successa 
« expediri queant ». 
Passerò ora rapidamente in rassegna le investigazioni fatte sullo stesso argomento 
da illustri Analisti posteriori ad Eulero , i quali specialmente hanno rivolto lo studio 
alla ricerca determini generali delle serie, che entrano nelle quistioni di cui si tratta. E 
primo s'incontra il nostro Paoli, il quale, vivente ancora Eulero, nel secondo de' suoi 
opuscoli pubblicati in latino (Petri Paoli Liburnensis Opuscula Analytica^ Liburni 1780) 
ha cercato di ridurre questi problemi alla integrazione di equazioni a dilFerenze finite 
e parziali ; ma Egli ritorna più tardi sullo stesso argomento , con maggiori sviluppi , 
nel T. II. delle memorie della Società Italiana delle Scienze (pag. 787). 
Viene in seguito il Malfatti, il quale nel T. III della stessa raccolta in una memo- 
ria sulle serie ricorrenti (pag. 571), studia accuratamente le medesime quistioni. 
Sono però degne di nota le sue osservazioni circa i risultamenti del Paoli , poiché di- 
mostra che le espressioni date da questo Geometra come termini generali sono lungi 
dall'avere i caratteri, che competono a questi termini. Per tanto è debito di giustizia 
il riconoscere che il Malfatti è stato il primo a porre in evidenza la vera natura e l'in- 
dole de' termini generali delle serie che s'incontrano in questo argomento , avendoli 
fatto dipendere dalla decomposizione delle funzioni fratte razionali in frazioni più sem- 
plici, e dalle proprietà delle radici primitive delle equazioni binomie , che sono gli ele- 
menti di quelle serie. Aggiunge il Malfatti che Egli aveva già pubblicato due altre note 
sullo stesso soggetto; la prima nel Prodromo della Enciclopedia Italiana, e la seconda 
nel n." XI dieW Antologia Romana per l'anno 1784, ma non è stato possibile di riscon- 
trar queste opere , che mancano in tutte le nostre Biblioteche. 
In tempi più vicini la quistione è stata ripigliata da uomini insigni , e segnatamente 
daCAYLEY, Herschell, Kirkmxnn, Svlvester, e Bellavitis. Io non entrerò in altri partico- 
lari intorno a questi recenti lavori, che ormai sono a conoscenza di tutti; ma non posso 
dispensarmi dal far notare che la soluzione del Malfatti, or ora menzionata, coincide nel 
fondo con quella data del Cayley, la quale però si distingue per quella sveltezza ed eie- 
