ganza, che caralterizza ludo ciò che sorte dalla penna di questo eminente Geometra; 
il quale inoltre ha messo in luce l'alta importanza della partizione de' numeri nella teo- 
ria delle l'orme. Bisogna del resto riconoscere che la migliore e la più compiuta soluzione 
della quistione, di cui si tratta, è quella contenuta nel magnifico teorema annunciato dal 
Sylvester nel Quarteìy Journal (Voi. I, pag. 141 ), perciocché esso dà quasi la rappre- 
sentazione analitica generale del numero delle partizioni ; teorema del quale furono date 
elegantissime dimostrazioni dal Biuoscm nel T. 8' degli Annali di Scienze matematiche 
e fisiche d^ Tortolim, e dal Battaglini, negli Atti della R. Accademia delle Scienze di 
Napoli, pel 1857; ed un'altra dimostrazione ne fu data da me stesso in una memoria pub- 
blicata negli Alti medesimi , nel 1865, nella quale mi proposi di rendere quel teorema 
indipendente al più possibile da ulteriori sviluppi analitici, e ridurlo ad essere immedia- 
tanjente applicabile a' casi numerici. 
È mestieri da ultimo di segnalare le recenti ricerche sulla partizione de' numeri 
del eh. Prof. Marsano nell'opera pubblicata a Genova nel 1870, dal titolo: Sulla legge 
delle derivate generali delle funzioni di funzioni , e sulla teoria delle forme di partizione 
de' numeri interi. L'Autore dà a queste materie un nuovo indirizzo; ed i giovani stu- 
diosi, che desiderano di approfondire siffatte teorie, consulteranno con vantaggio l'opera 
rimarchevole del modesto e dotto Professore. 
2. 
Notizie intorno alla ricerca effettiva delle jtartizioni. 
Si sa che importanti teoriche di algebra ordinaria e di analisi superiore finiscono 
per dipendere da partizione di numeri; e basterebbe di ricordare: lo sviluppo delle po- 
tenze delle funzioni intere : le somme delle potenze simili delle radici delle equazioni : 
le funzioni simmetriche : le serie ricorrenti : le forme generiche degl' invarianti e co- 
varianti: le derivate d'ordine qualunque delle funzioni di funzioni, ecc. ecc. 
Per esempio, indicando A„il coefficiente di x nello sviluppo di ( 1 -\-a^x\-a^x^-\- . ..)"', 
si ha *). 
'l • °2 • • • • • 
dove il ]S si estende a tutte le soluzioni intere e positive o nulle dell' equazione indeter- 
minata : 
,,_|_2., + 3c-3+ . . . -]-n-.„ = n, (2) 
•) Adopero la notazione comune w ! per significare il fattoriale di un numero intero n, vale a dire il prodotto de' numeri natu- 
rali da 1 ad n, di modo che si ha ?i ! = 1 . 2 , 3 . . . jì; e questa notazione importa o ! = 1 . Uso inoltre, come al solito, il simbolo 
(n)r per significare il coefficiente binomiale di rango r relativo all'esponente n; cosi si ha in generale: 
1)(n — 2) . ■ . (n-r-fl) 
1 . 2 . 3 . . . r • 
ed in particolare (n), = = 1 . È bene di tener presente che, se n è intero e positivo , si ha {n)r =(n)>i_r • 
Un'osservazione intorno a queste notazioni non è forse inopportuna. Sono due grandi Maestri quelli da' quali vennero la pri- 
ma volta adoperate: la prima da Kramp, l'altra da Cauchy; esse d'altronde nulla hanno di strano, e sono di uso abbastanza facile 
e comodo; cosi io non veggo una ragione al mondo percliè si debbano sostituire con altre notazioni, che certamente non si rac- 
comandano né per maggiore semplicità, né per l'autorità dell'origine. 
