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di questi coefficienti o di loro potenze); e che, reciprocamente, qualunque combi- 
nazione (li coefflcionti si può esprimere linearmente per mezzo di funzioni simme- 
triche. Nell'Algebra di Mkif.r Hirscii , inibblicata nel 1810, si trovano calcolate, in 
dicci tavole, tutte le possibili funzioni simmetriche fino al IO"" grado, in termini 
di combinazioni di coefficienti ; il Cayley ha completato ({uesto lavoro , ed in una 
memoria inserita^ nelle Transazioni filosofiche (voi. 147, par. l"", pag. 48iJ), ripro- 
duce le dieci tavole di Mkikr IIikscii , ed in altrettante tavole da lui calcolate 
dà le espressioni di tutte le possibili combinazioni di coeincienti , fino al peso 10, in 
termini di funzioni simmetriche *). Queste ricerche sono essenzialmente fondate sulla 
partizione de' numeri , e specialmente sull'ordinamento delle partizioni; ora, non ap- 
pena quelle tavole mi vennero sott'occhio, fui colpito dalla circostanza singolare che 
ciascuna è fondata sopra un doppio ordinamento delle partizioni di uno stesso nu- 
mero , uno per le combinazioni di coefficienti, l'altro per le funzioni simmetriche; 
coincidenti con quelli che risultano dal nostro algoritmo isobarico, e quindi anche 
co' sistemi di partizioni di Boscovicn e di Hindi-nburg. Ma il Cayley, e ciò appare 
senza equivoci dalla sua stessa memoria, ha completamente ignorato e le ricerche 
di BoscovicH e quelle di Hindknburg; invece le due maniere di ordinamento da lui 
adottate sono la conseguenza di due principi , che qui è necessario di porre in evi- 
denza **). 
Uno di questi principi è un criterio stabilito dal Cayley per dare un' ordina- 
mento definito alle partizioni. Paragonando due partizioni. Egli considera come an- 
teriore quella in cui è più piccola la parte maggiore, cioè l'ultima; e quando vi 
siano più parti eguali alla maggiore, la partizione anteriore è quella in cui il nu- 
mero delle dette parti è più piccolo. Che se il numero di queste parti è lo stesso 
nelle due partizioni , basterà applicare i medesimi criteri alle parti prossimamente 
inferiori alle più grandi ecc. ecc. Per esempio, considerando le partizioni 
1111233 , 22233 , 111234 , 12224 , 2244 , 1344 , 444 , 
si vede che ciascuna è anteriore alle seguenti , o posteriore alle precedenti. In altri 
termini può dirsi che ciascuna è di rango inferiore alle seguenti , o di rango superiore 
alle precedenti. In generale, trattandosi di partizioni , le quali abbiano comuni alcune 
delle ultime parti, la quistione di precedenza è decisa dalla parte che in ciascuna si 
trova immediatamente prima delle parti comuni; e la partizione di rango inferiore è 
sempre quella in cui la detta parte è più piccola. 
Quando si abbiano presenti tutte le partizioni di un numero non è difficile di 
disporle in guisa che ne risulti un sistema ordinato per rango ascendente , ossia per 
modo che ciascuna riesca di rango superiore alle precedenti, ma allora, richiamando 
la regola del Boscovich, si riconoscerà senza più che un sistema di questa natura 
*) Io non conosco l'Algebra di Meiek Hirsch, e non è stalo possibile di consultarla; la notizia delle sue ricerche è data nella 
memoria del Cayley; ma certamente non è Egli il primo che abbia concepito e costruito le tavole di funzioni simmetriche. Molto 
tempo prima queste tavole erano state calcolate da Vandermond, trovandosi pubblicate fin dal 1771 tra le Memorie dell' Accade- 
mia di Francia; e posseggo io stesso il volume che le contiene. 
*■) Un largo sunto di questa memoria del Cayley è dato nell'Opera del Fiedler, Die Elemente der neueren Geometrie und 
der Algebra der hinàren Formen, e vi sono riprodotte complessivamente tutte le tavole, cosi pe' valori delle combinazioni di coef- 
ficienti, che per quelli delle funzioni simmetriche. 
