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è niente altro che quello dello stesso Boscovich; ed ecco spiegata la coincidenza tra 
questo sistema e quello adottato dal C.vylky per le combinazioni di coetllcienti nelle 
sue tavole più sopra ricordate. Il Cwley nulla dice intorno al metodo da lui seguito 
per dedurre dal suo criterio le conibinazioni di coefficienti ordinate nel modo dichiarato, 
e si limita a questa avvertenza: « It is to be noticed that the combinations taken in 
« order , t'rom lest to right , are noi in the order in vvhich they would be obtained 
« by Arbocast' s Method of Derivations from an operand iv% a being ultimately re- 
« placed by unity ». Queste parole del Cayley dimostrano in modo assoluto ch'egli 
non avea alcuna notizia delle ricerche di Boscovich e di Hindenburg. 
Non è superfluo di far notare che la nozione così semplice e naturale del rango 
nelle partizioni è della maggiore importanza e nella stessa teoria delle partizioni e 
per diverse quistioni di analisi, che ne dipendono; ed in particolare osserverò che 
senza questa nozione è pressoché impossibile una esposizione alla meglio completa 
della teoria delle funzioni simmetriche, come si vedrà nelle applicazioni. 
L'altro principio impiegato dal Cayley consiste nella nozione delle partizioni 
conjugate , dovuta, come Egli afferma, a Sylvester o a Ferhers. Nel capitolo seguente 
questa nozione sarà convenientemente sviluppata e presentata sotto una forma più 
algebrica; ma qui è sufficiente di presentarla nella sua forma primitiva. 
Immaginando una partizione qualunque A di un dato numero n , si decomponga 
ogni parte in semplici unità , e quindi le unità dovute a ciascuna parte si scrivano 
per ordine in altrettante linee verticali, ma in guisa da trovarsi anche orizzontal- 
mente allineate (vedi l'esempio a fianco), ed a patto che nella linea 
orizzontale superiore si trovino tante unità quante sono le parti. Po- 
sto ciò, se si prendano le somme delle unità per verticali, è chiaro 
che si riproduce la partizione A; ma prendendo le somme per oriz- 
zontali, nascerà un'altra partizione B dello stesso numero n, in ge- 
nerale diversa da A , e che si dice conjugata di A. Se si cerca con 
lo stesso processo la conjugata di B, si ricade evidentemente nella par- 
tizione originaria A; ed è però che le partizioni A e B diconsi tra 
loro conjugate. Come si vede la ricerca della conjugata di una data 
partizione è molto facile; ma sarà dato a suo luogo un metodo per 
ottenerla immediatamente, senza decomporre le parti nelle loro unità. 
Ho detto che nelle sue tavole il Cayley ha adottato un doppio or- 
dinamento di partizioni; l'uno per le combinazioni di coefficienti, l'al- 
tro per le funzioni simmetriche ; il primo gli risulta dalla nozione del 
rango, e coincide esattamente col sistema di Boscovich; ed ora ag- 
giungo che il secondo è niente altro che il sistema conjugato del primo. 
Io dissi ancora che questo secondo sistema coincide col sistema di Hlndenburg, ma lo 
dissi come un fatto che si verifica nelle tavole pe' sistemi di partizioni di tutt'i numeri 
da 1 a 10. Si trattava quindi di una induzione , che autorizzava a sospettare che la 
proposizione potesse esser vera in generale; e ad ogni modo era un argomento che 
meritava di essere approfondito. La quistione si riduceva evidentemente a provare che 
due partizioni di uno slesso numero e di egual posto nel sistema di Boscovicu e nel 
sistema di Hi^denburg fossero tra loro conjugate, e da principio si presentò difficile; 
ma una via finalmente mi fu aperta dall'algoritmo isobarico e dalla nozione del rango 
A = 2245 
1111 
4 
1111 
4 
1 1 
2 
1 1 
2 
1 
1 
2 2 4 5 
B = 12244 
1 1 1 1 1 
5 
1111 
4 
1 1 
2 
1 1 
2 
1 2 2 4 4 
