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le corrispondenti combinazioni saranno *) : 
Adunque , se si conoscono tutte le partizioni del numero n , ne seguono subito tutte 
le combinazioni di peso n ; ma , reciprocamente , è chiaro che , se si conoscono le 
combinazioni . ne seguono immediatamente le partizioni , di modo cbe risolvendosi 
Funa , resta risoluta anche l'altra quistione. Noi preferiamo la considerazione diretta 
delle combinazioni, sia perchè nella maggior parte delle applicazioni le partizioni si ri- 
chieggono appunto per formare le combinazioni , sia perchè le partizioni hanno nelle 
stesse combinazioni la più naturale ed opportuna rappresentazione**); e sia perchè le 
■) La quistione può essere considerata sotto un altro punto di vista. Se si rappresentano con Ej , e.j , . . . , delle quantità 
indeterminate capati di prendere tutt'i valori interi e positivi o nulli, è evidente che qualunque combinazione avrà la forma: 
«/' 02=2 (7/3 . . . ajm , (a) 
e dovendo essere di peso n, è necessario e basta che gli esponenti verifichino l'equazione indeterminata: 
l.s, + 2c2+3£3+ • • • +mi,„ = n. (b) 
Ne risulta che la forma (a) darà tutte le combinazioni di peso n, prendendo per sistemi di esponenti tutte le soluzioni della equa- 
zione (6) in numeri Interi e positivi, incluso il zero. 
Applicando ipiesto processo all'esempio superiore, in cui si tratta di trovare tutte le combinazioni di peso 6 risultanti dai 
tre elementi a^, a^, a^, bisogna cominciare per cercare tutte le soluzioni dell'equazione: 
l.e, +2£24-3£3=6 , 
e si trova facilmente che queste soluzioni, in numero di sette, sono le seguenti: 
2) 
H 
^3 
6 
0 
0 
4 
1 
0 
2 
2 
0 
0 
3 
0 
3 
0 
1 
1 
1 
i 
0 
0 
2 
Ora, adottando ciascuna soluzione per sistema di esponenti alla forma Oj^' a^^^ a^^^ , si ritorna evidentemente alle combinazioni 
ottenute nel testo. Ma quindi risulta che la costruzione del completo sistema di combinazioni di peso n include egualmente la riso- 
luzione della equazione indeterminata (6) in numeri interi e positivi, o nulli. 
*■) È manifesto che nelle combinazioni si ha nna rappresentazione delle partizioni molto pìii concisa e più opportuna; basta 
ritenere che gl'indici esprimano le parti disuguali, mentre gli esponenti dinotano quante volte queste parti sono ripetute. Cosi, in 
generale, il simbolo: 
Cp"" ('</ ■■ «i'^ 
può bene essere adoperato per significare la partizione di un numero in a parti eguali a f, ^ parti eguali aq, . . . parti eguali 
a i; ma allora vale anche meglio di sopprimere la lettera a, che non ha piii scopo, e la partizione si rappresenta semplicemente 
con la notazione: 
p'^ (fi^y ...l^', (c) 
già usata da Vandehmond e da Cw'Lev, e che supplisce la scrittura incomoda : 
a parti p /3 parti q Tf parti r \ parti t 
pp...p qq...q rr...r '"' tt...t' 
Naturalmente nel simbolo (e) non si ha piii a vedere nè un prodotto, né potenze, nè esponenti , ma solo una maniera concisa per 
significare un numero decomposto in « parti p , ^ parti q, ecc. ecc.; di guisa che i numeri a, |3, . . • , )i non sono piìi esponenti 
ordinari, ma sono e li chiameremo esponenti di ripetizione delle parti disuguali. In questa notazione, come esponenti di ripeti- 
zione si ammettono anche 1 e 0; il primo perle parti semplici, cioè non ripetute, ma si sopprime per brevità, e 1' altro per parti 
