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combinazioni consentono un linguaggio algebrico , clie nelle partizioni dovrebbe ri- 
solversi in circollocuzioni. 
4. Le combinazioni ili egual peso si distribuiscono per classi e pei' sezioni di 
classi; la classe di una combinazione è l'indice più grande, e la sezione è l'esponente 
dell'elemento che ha l'indice più grande. Per esempio le combinazioni isobariche 
di peso 10, a^'a^^a.^ , a.,' a.^' ^ a, et/ sono di 3" classe, ma appartengono rispettivamente 
alle sezioni T, 2% T. ' 
Supponendo dati m elementi, il numero delle classi non può essere maggiore di w, ma 
puòessere minore. Infatti, nelle combinazioni di peso n non possono entrare elementi d'or- 
dine superiore ad n; quindi , se n^w, il numero delle classi sarà uguale ad n; ma se 
n'^m, quel numero sarà sempre eguale ad m. La classe n'"" non può comprendere che 
la sola combinazione a ; ed una è pure la combinazione di 1"^ classe, cioè a,". 
5. Paragonando due combinazioni di egual peso, si dice di raìigo inferiore quella 
in cui l'elemento d'ordine più elevato ha l'indice più piccolo; o, se questi indici sono 
eguali, quella in cui lo stesso elemento ha l'esponente più piccolo. Che se anche gli 
esponenti sono eguali, il rango si valuta applicando i medesimi criteri agli elementi di 
ordine prossimamente inferiori a' più elevati , e così di seguito. Per esempio, conside- 
rando le combinazioni di peso 13 , a''a./i^ , a^a.^'a.^a^ , a^a^- , , «,'«5 , si trova 
che ciascuna è di rango inferiore alle seguenti; 0, se piaccia, di rango superiore alle 
precedenti. In generale è chiaro che il rango di due combinazioni, che hanno comuni 
alcuni degli ultimi fattori, è lo stesso che quello delle due combinazioni di peso infe- 
riore, che ne risultano sopprimendo tutt'i fattori comuni. 
6. Due combinazioni isobariche si dicono di ramjo successivo, o semplicemente suc- 
cessive , se non esiste alcuna combinazione di rango intermedio, cioè superiore all'una 
ed inferiore all'altra. Questa successione è definita dal seguente criterio : 
Sono successive due combinazioni isobariche A e B aventi le forme: 
dove k^O ed i<Ck, e gli esponenti x ed y potendo prendere tutt'i valori interi e positivi 
compatibili con l' eguaglianza de' pesi delle due combinazioni. 
La dimostrazione è immediata; infatti, una combinazione di rango intermedio ad 
A e B dovrebbe contenere l'elemento a^ con un esponente superiore ad j? ; e ciò è im- 
possibile, perchè il suo peso sorpasserebbe quello di A. 
che in realtà non esistono. Applicando, per esempio, queste convenzioni alle partizioni del numero 6 in parti eguali ad 1, 2, 3, con- 
siderate nel testo, le medesime divengono : 
16 , -14 -2 , 122-2 , 2^ , 133 ^ 123 , 3i. 
Ma in generale è chiaro che, per passare da un sistema di combinazioni a quello delle corrispondenti partizioni , non si ha che a 
sopprimere la lettera a; e, reciprocamente, ripristinando questa lettera si tornerebbe da un sistema di partizioni a quello delle 
corrispondenti combinazioni. 
Considerando le partizioni indipendentemente dalle combinazioni le terremo egualmente distribuite per classi, e la classe di 
una partizione è sempre la parte piii grande. Inoltre cliiamiarao ancora grado di una partizione il numero di tutte le sue parli: 
numero perciò equivalente alla somma di tutt'i suoi indici di ripetizione; di guisa che il grado della partizione (c) sarà 
Cosi, secondo queste denominazioni, il grado di una partizione è ciò che Hindexbuug ha chiamato classe della partizione (V. p. Il); 
mentre per noi la classe è definita dalla parte piii grande della partizione. 
