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11. Posto ciò, dimostreremo due notevoli proprietà de' polinomi isobarici completi. 
I. nel polinomio isobarico complelo A„ //// esponenti di un elemento si diminuisca- 
no di un dato numero i, e si rigettino le coìnhinazioni in cui V esponente di è inferiore 
ad i, le combinazioni che restano formeranno il polinomio completo isobarico di peso 
n — pi . 
Intatti, diminuendo di / unità l'esponente di a^, in una combinazione di peso n , se ne 
diminuisce il peso di pi unità; e perciò le combinazioni residue sono tutte di peso n — pi . 
E poi chiaro che il sistema di queste combinazioni è completo, perchè, se alcuna ne man- 
casse, moltiplicandola per aj\ si avrebbe una combinazione di peso n , non compresa 
nel sistema originario; e ciò è assurdo, perchè per ipotesi quel sistema è completo. 
II. Se il polinomio A„ si ordini secondo le potenze di un elemento a^ , il coefficiente 
di una potenza qualunque sarà un polinomio isobarico completo di peso n — pi relativo 
agli stessi elementi dati , escluso però l' elemento a^, . 
Che questo coeinciente sia un polinomio isobarico di peso n — 29/ è evidente, e 
solo bisogna provarlo completo. Ma se potesse mancarvi una delle combinazioni, che 
sarebbe di peso n — pi , moltiplicandola per aj ne risulterebbe una combinazione di 
peso n non esistente nel polinomio A,^; il che è contro l'ipotesi. 
12. Sia k il quoziente intero della divisione di n per p, e p , il resto, in guisa che 
n — pk -\- p; ò chiaro che aj' è la potenza più alta di a^, , che può trovarsi in A,^ , ed il 
suo coefficiente sarà un polinomio isobarico di peso p = n — pk. In conseguenza se si 
rappresenta in generale con B,. il polinomio isobarico completo di peso r relativo a' dati 
elementi , escluso il solo elemento a^, , per modo che 
= I , rt, , . . . , a, I , , 
lo sviluppo del polinomio A„ ordinato secondo le potenze ascendenti di a^,, prenderà la 
forma 
K = B,, + B„_,, a^, + B„_,^, a; + B„_3^, + • • • + B„_^, ; 
e giova osservare che il primo termine del secondo membro , cioè B„ esprime tutta la 
parte del polinomio A^ indipendente da a^,. 
Le nozioni che precedono somministrano due metodi distinti per costruire il completo 
sistema delle combinazioni di peso n relative alla serie continua di elementi a, , , «3 , . . . , 
la quale si può supporre indilTerenlemente finita o indefinita; dappoiché le regole che 
daremo esigono che i dati elementi vengano successivamente introdotti l'uno dopo l'al- 
tro , ed il processo può essere arrestato , semprechè si voglia , a qualunque elemento 
designalo. 
PRIMO METODO 
13. Questo metodo, fondato suUe proprietà I e II poc'anzi dichiarate, fa dipendere 
le combinazioni di una classe qualunque da quelle delle classi precedenti , e ne risulta 
un processo , che si compendia nella regola seguente : 
Le combinazioni della f sezione nella r'"^ classe si derivano da quelle delle classi pre- 
cedenti in cui l'elemento a, ha un esponente non inferiore ad r , e si ottengono diminuendo 
questo esponente di r ^ e moltiplicandole per a,. . Ma le combinazioni di ogni altra sezione 
