si derivano da quelle della sezione, che immediatamente la procede, e si oltemjono dirni- 
nuendori ancora di r l'esponente di a, , ma accrescendo di l quello di a^. L'ultima sezione 
è quella in cui gli esponenti di a, sono divenuti inferiori ad r . 
Supposto che le prime r — l classi formino un sistema completo di peso n , anche 
.completa sarà la r'"" classe, cioè conterrà tutte le combinazioni di peso n, in cui l'ele- 
mento con l'indice più grande è Infatti, segue immediatamente dalla proprietà I, 
che la 1" sezione comprende tutte le combinazioni di peso n, nelle quali l'elemento a^ 
può trovarsi a V grado; ma per la stessa ragione la 2'' sezione comprenderà tutte 
quelle , che contengono la 2''' potenza di a,. ; poi la terza quelle che contengono la 3^ 
potenza , ecc. ecc. ; e quindi risulta che la r"" classe , ottenuta con la regola esposta , è 
necessariamente completa. 
14. La risoluzione della quistione ò ora evidente, perchè, cominciando ad applicar 
la regola all'unica combinazione di 1* classe 
se ne deducono successivamente le classi superiori , e quindi il completo sistema di 
combinazioni di peso n . E si hanno dapprima le combinazioni di 2* classe : 
nella quale ogni sezione comprende una sola combinazione , donde avviene che , men- 
tre gii esponenti di a^ formano una progressione aritmetica decrescente, la cui ragione 
è 2 , e che comincia da n — 2 , gli esponenti di sono invece numeri naturali , a co- 
minciar da 1 ; l'ultima combinazione della 2^ classe sarà a^^ , ovvero a^a^ ^ , secondo- 
chè n è pari o impari. Dalle combinazioni delle prime due classi, con la introduzione 
del terzo elemento a^ si deducono quelle della 3^ classe , le quali, distinte per sezioni, 
sarebbero le seguenti : 
l^Sez. , rt,"~^«3 
«3 , . . 
2^ Sez. , a^"■~'^ a^^ 
, a^ 
, or'' 
a^a-i , . . 
«3^ , . . 
3=^ Sez. , a,"-^a,^ 
"2 '^^3 ' • • 
«3' ' • • 
ecc. ecc. 
ecc. 
ecc. 
ecc. 
ecc 
E così, continuando ad introdurre l'uno dopo l'altro i rimanenti elementi a^, a. , . . . ,a^^, 
si ottiene il completo sistema delle combinazioni di peso n nel modo il più semplice e 
rapido che può desiderarsi , perchè non richiede calcolo di sorta , e tutto si riduce al 
fastidio della scrittura *). E quasi superfluo di avvertire che questi sistemi si arrestano 
tostochè l'esponente di a^ cominciasse a diventar negativo. 
*) Il sistema delle combinazioni di peso n relative agli elementi ctj, 03, «3, . . . , può, quando si voglia, essere immediatamente 
tradotto nel sistema delle partizioni di n in parti uguali ad 1,2,3,...; e perciò, tenendo presente la notazione delle partizioni 
(nota 2* a pag. 18), non si ha che a sopprimere la lettera a , e ritenere i soli indici co' rispettivi esponenti. Ma allora è chiaro che 
