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conlrario, le combinazioni di qualunque peso , sia distinte , sia riunite in polinomio , 
vogliono in oixuì caso essere rigorosamente disposte e succedersi nell' ordine istesso 
con cui risultano dal metodo. 
17. Faremo inoltre osservare che, una volta ottenuto il sistema di combinazioni di 
peso n, si \)uò immediatamente dedurne quello del peso prossimamente inferiore n— 1. 
Basta diminuire da per tulio di imo l'esponente di , e rigettare le combinazioni, che 
non contengono ; il che segue senza più dalla proprietà I del n.Ml ; ed è poi chiaro 
che le combinazioni di peso n — 1 , risultanti in tal modo , si troveranno esattamente 
disposte noli' ordine istesso con cui le darebbe il metodo diretto. Applicando questo 
processo al sistema superiore delle combinazioni di peso 10, si possono riprodurre 
successivamente l'uno dopo l'altro i sistemi corrispondenti a tutt'i pesi inferiori 
9,8,7, ecc. ecc. 
Reciprocamente, moltiplicando per a, le combinazioni di peso n — 1 , si riprodu- 
cono evidentemente, ma solo in parte, le combinazioni di peso, n, dovendo mancare 
tutte quelle che non contengono o^; però incontreremo tra poco altri principi da' quali 
risulterà che anche queste combinazioni indipendenti da possono essere riprodotte 
di una' maniera semplicissima , di guisa che sarà pure immediato il passaggio dalle 
combinazioni di peso qualunque a quelle del peso immediatamente superiore. 
18. Il metodo esposto per costruire il completo sistema delle combinazioni di 
peso ti palesa alcune proprietà di questo sistema , che meritano di essere segnalale. 
I. E conseguenza del metodo che ogni combinazione è di rango superiore alla pre- 
cedente. Ora, siccome il sistema comprende tutte le combinazioni, avviene che non può 
esisterne alcuna di rango intermedio tra due vicine, e da ciò risulta il fatto notevole 
che le combinazioni riescono disposte per rango ascendente e successivo , prendendo in tal 
modo un ordinamento naturale, che assegna a ciascuna un posto perfettamente defi- 
nito. jMa allora è palese che questo sistema di combinazioni è perfettamente uniforme 
a quello adottato da C\yli:v nelle tavole delle funzioni simmetriche, e dà origine ad un 
sistema di partizioni coincidente col sistema di Boscovich (V. pag. 14). 
II. In qualunque classe si possono determinare direttamente la prima e l'ulti- 
ma combinazione, cioè quella del rango più basso, e quella del rango più alto. Segue 
dalla slessa regola che la prima combinazione della r""' classe è a^''"'a/, inquanto 
all'ultima si osserverà che l'elemento a. vi ha l'esponente più grande ; perciò questo 
esponente sarà il quoziente intero della divisione di n per r, mentre il resto, che è più 
piccolo di r, sarà l'indice di un altro elemento che completa la combinazione. In con- 
seguenza, posto che A- sia il quoziente ed i il resto della divisione di n per r, e quindi, 
n = rk -j- i , 
l'ultima combinazione della r'"" classe sarà a^aj" . Ed in effetti la combinazione succes- 
siva di rango superiore sarebbe (n."7) Oj" , , ma questa non più appartiene 
alla classe, ed è invece la [)rima della classe seguente. 
Quando il resto della divisione è zero , vale a dire quando n è multiplo di r , e 
quindi n = rk, l'ultima combinazione è semplicemente rt \ 
III. Segue dal principio I dimostrato al n." 8 che, se nelle combinazioni della r'"" 
classe gli esponenti di a, si diminuiscono di 1 , le combinazioni così ridotte forme- 
