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ranno il coinplclo sislcnia delle combinazioni di peso n — r relative agli clcrncnli 
o, , a^, . . . , a,. . Da ciò risulla che pei- coslruiie tulle le combinazioni della r""' classe 
non è necessario di ricorreie a (luelle delle classi precedenti, come nella rej^ola è pre- 
scrilto; ma si possono invece costruire le combinazioni di peso inferiore ii — r, e 
moltiplicarle per a.. Bisogna inoltre osservare che le combinazioni di peso n — r sono 
indipendenti dall'elemento a,, se r> w — r , vale a dire r>— , e perciò in questa ipolesi 
le condjinazioni della r'"" classe conterranno soltanto la prima potenza dell'elemento a^. 
IV. Vu un corollario immedialo della [)roprietà [)recedcnle che: Il nuìiiero delle 
coiubiìiuzioni di peso n appartenenti alla classe v"" è uguale al numero delle conibinazioni 
di peso n — r relative agli elementi a, , a.^ , . . . , a . 
E nella teoria delle partizioni questa proprietà si traduce come segue : Nel sistema 
delle partizioni di un dato numero n in parti non maggiori di un dato numero r, quelle 
in cui non manca la parte maggiore r sono tante, quante soììo le partizioni del numero n — r, 
sempre in parti non maggiori di r, 
19. Fin qui abbiamo supposto le combinazioni ordinate per rango ascendente; 
ed una volta così oUenule, niente impedisce di considerarle in ordine inverso, onde 
averle disposte per rango discendente, come occorre in diverse applicazioni ; ed in 
questa ipotesi possiamo dare tal sistema la seguente disposizione: 
1 <^5 ! ' ^CC. ecc. 
«2 «3 
a^' a.. 
«l'«3 
«l'«2 
a,- 
dove s'intende che le combinazioni scritte a sinistra di ciascuna riga verticale deb- 
bano moltiplicarsi per l'elemento segnalo alla dritta. In questo quadro ogni colonna 
comprende tutte le combinazioni di una slessa classe, procedenti da sopra in sotto per 
rango discendente; di modo che la prima superiore è sempre la combinazione di rango 
più elevalo della classe medesima. Ma la quistione dell'ordinamento delle combinazioni 
per rango discendente sarà poco appresso direttamente risoluta. 
SECOINDO METODO 
20. La costruzione di un sistema di combinazioni ordinato per rango ascendente 
può farsi evidentemente dipendere dal seguente problema : Data una combinazione qua- 
lunque P, trovare la combinazione successiva Q, di rango superiore. Questo problema è 
la generalizzazione del caso particolare consideralo al n." 7; ma andiamo a vedere che 
a questo caso va immediatamente ridotto il caso generale. Distinguiamo due ipolesi, 
secondochè il primo elemento in P (quello cioè con l'indice più piccolo), si trova a 
a.. 
«1«2 
