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ma fl_ a/fl/, . . . , ne dà due al peso ??, cioè (ija.a/a/ . . . , ed a^^ia/,/, . . . , la prima 
che ne risulta moUiplicandola per c l'altra che ne deriva accrescendo di 1 l'indice 
/ di (j, ; ma , perchè sia mantenuta la legge del rango , la seconda dovrà sempre pren- 
der posto immediatamente dopo la prima. Dopo ciò è manifesto che le combinazioni di 
peso n si derivano da quelle di peso n — 1 con la regola seguente: 
ò'/ vìoìlìplichino le combinazioni di peso n — 1 per a^ , e si ha così una parte del si- 
stema di peso n ; le rimanenti poi ( salvo la legge del rango ) si ottengono da quelle sole 
combinazioni di peso n — 1 , nelle quali l' esponente dell'elemento con V indice più piccolo 
è r unità , e perciò basta che in ciascuna il dello indice si aumenti di 1 *). 
Si i^rova facilmente che il sistema di peso n, derivato con questa regola dal siste- 
ma di peso n — 1 , è necessariamente conìplelo. Bisogna osservare che il sistema di 
peso n — 1 non può contenere combinazioni di rango più elevalo di a ; e questa, ap- 
plicando la regola, ne dà due al peso n, cioè ed a^, la seconda delle quali è 
appunto la combinazione di rango più elevato nel peso n. Ora, siccome la regola dà 
un sistema di combinazioni ordinato per rango ascendente e successivo, il quale com- 
prende e quella di rango più basso a,", e ([uella del rango più alto a^, ne risulta che 
il sistema comprende tutte le possibili combinazioni di peso n, ed è perciò neces- 
sariamente completo. 
Bisogna osservare che le combinazioni di peso n, derivanti dalla seconda parte 
della regola, sono affatto indipendenti dall'elemento a,; e da ciò risulta il seguente teo- 
rema, che ha importanti applicazioni: 
// numero delle combinaziotii di peso qualunque n , nelle quali non manca V ele- 
mento , è eguale al numero delle combinazioni di peso n — 1 . E quindi : // 7iu- 
mero di quelle indipendenti da a^ è uguale alla differenza tra il numero delle com- 
binazioni di peso n e quello delle combinazioni di peso n — 1 **). 
') Nella teoria liella partizione la regola per dedurre le partizioni del numero n da quelle del numero n — 1 si traduce come 
segue: 
Si iKj'jiuiìQa una parie 1 a tutte le partizioni del numero n— 1; ma oltre a ciò si aumenti di 1 la parte più piccola in quelle 
sole partizioni nelle quali questa parte non è ripetuta. 
Una regola simile è data da Boscovicii nella seconda delle dissertazioni delle quali si ò discorso nel primo Capitolo, e l'ap- 
plica a derivare l'uno dall'altro i coelTicienli delle potenze di x nello sviluppo delle potenze delle l'unzioni intere. 
") Trattandosi di partizioni si ha questo teorema: 
Nel sistema delle partizioni di un numero n in parti non maggiori di un dato numero m, i7 numero di quelle, in cui non 
manca la parte ì, è uguale al numero delle partizioni di n—\, sempre in parti non maggiori di m. E perciò: // numero di quelle 
che sono indipendenti dalla parte 1 e uguale alla differenza tra il numero delle partizioni di n e quello delle partizioni di n — I. 
Pare che questo teorema non sia conosciuto; ed in effetti il Cayley nelle sue ricerche intorno alla determinazione del numero 
delle partizioni, ed io stesso nella memoria sullo stesso argomento, pubblicata nel 1805, abbiamo dato le formole per definire il 
numero delle partizioni di n non solo in |)arli eguali ad 1 ,2,3; ad 1 ,2,3, i; ad 1 ,2,3,4,5; ad 1,2,3,1,5,0; e ad 1 ,2,3,4,5,0,7, 
ma anche in parti eguali a 2 , 3; a 2,3,i; a 2,3,4,5; a 2,3,4,5,6; ed a 2,3,4,5,6,7. Ora è evidente che queste ultime formole, 
le (piali escludono la parte 1, non hanno |>iii scopo quando si ammcite il teorema enunciato; iiil'.itti, ilata l'esiu-essioue algebrica 
del numero delle partizioni di n in parti eguali ad 1 ,2,3, hi, si ha in pari temi)o l'espressione del numero delle partizioni di 
n — 1 secondo le medesime parti; e quindi, in virtù del teorema, la differenza tra queste due espressioni darii quella del numero 
delle partizioni di n in parti uguali a 2 , 3 , 4 , . . . , ni, che risponde appunto al numero delle partizioni di n, che sono indipendenti 
dalla parte 1. 
l)i-l resto il teorema si dimostra f;icilmente co'principi ili Eulero. Infatti, supponendo i due sviluppi 
„_.^)(l_^.)(l'_.,.)...(i_^..) = l + A.^+A,...'+ . . . +.^„».- + A„x'+ ... (1) 
i due coefficienti del primo sviluppo ed A„ rappresenteranno rispettivamente i numeri delle partizioni di n — 1 ed n in parti 
