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Art. 3° — Combinazioni conjuyate. 
23. Ina coiiihinazionc P si Irasfonna in un'altra combinazione O di egual peso, 
se ad ogni elemento di P se ne sostituisca un altro avente per indice la somma del pro- 
prio esponente, e di tutt'i seguenti, e per esponente la dill'crcnza tra l'indice pro- 
prio e quello che lo precede. La nuova combinazione Q si dice coììjucjala di P. 
Se gì' indici di P l'ossero disposti in ordine decrescente, ogni elemento dovrebbe 
mutarsi in un altro avente per indice la somma del proprio esponente e di lutt'i prece- 
denti , e per esponente la dillerenza tra il proprio indice e quello che lo segue. 
Supponiamo, per fissar le idee, 
e gl'indici in ordine crescente; cercando la conjugata secondo la definizione, si ha : 
e si verifica subito che il peso di Q è uguale a quello di P. GÌ' indici in Q si succedono 
decrescendo*); se si cerca la sua conjugata, si ritorna a P; e quindi risulta, che: 
Senna combinazione è conjugata di uìi'allra,questarecìprocamente è conjugata di quella. 
Essendo differenti leconjugate di combinazioni differenti, si ha questa proposizione: 
Le conjugate di tutte le combinazioni di peso n , relative ad n elementi , riproducono il 
completo sistema delle stesse combinazioni , ma con ordine diverso. 
24. La conjugata della combinazione a^., è semplicemente a^\ vale a dire si for- 
ma dalla prima scambiando l'indice con l'esponente , e viceversa. 
eguali ad 1 , 2 , 3 , .. . , jn, mentre il coefficiente B„ nel secondo rappresenta il numero delle partizioni di n in parti uguali a ■ 
2 , 3 , 4 , . . . , r»; e per conseguenza questo coelfìciente B,j esprime quante sono le partizioni di n indipendenti dalla parte 1. Po- 
sto ciò, se i due membri di (1) si moltiplicano per 1 — x, si ha l'eguaglianza: 
1 
(l-.;^)(l-.-)...(l-x'")-^ + ^>,^_|_^^ 
— A 
H 2 
— A., , I 
e quindi risulta la relazione, B„ = A„ — A,,j_i , la quale si traduce appunto nel teorema superiore. 
*) Disponendo in ordine inverso gli elementi della conjugata Q, la medesima diviene 
(-;• T-q q—p p 
e gl'indici vi si trovano, come all'ordinario, disposti in ordine crescente. Ma vogliamo osservare nell'interesse delle applicazioni 
che si può dalla combinazione P passare direttamente a questa forma di Q, trasformando gli elementi di P contati dall'ultimo a 
dritta ; quindi si cangerà l'ultimo elemento in un altro ' clie ha per indice il suo esponente S , e per esponente la differenza 
tra il suo indice t e l'indice precedente r; poi il penultimo elemento nell'altro a" che ha [)er indice la somma dei due uì- 
timi esponenti y e 5 e per esponente la differenza tra il suo proprio indice e l'iudice precedente q; indi il terz'ultirao elemento 
nell'altro the ha per indice la somma de' tre ultimi esponenti p, r, e per esponente sempre la differenza tra il suo 
proprio indice e quello che lo precede; e cosi continuando. 
