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Ricerca diretta di tutte le combinazioni di uno stesso grado. 
28. Premettiamo il seguente problema: Data una combinazione M, trovarne un'al- 
tra N dello stesso (jrado , via tale che la coniiujata di M sia di rango successivo inferiore 
alla coniugata di N. 
Siano M' ed N' le coniugate di M ed N; essendo data M può trovarsi la sua conju- 
gata M'; indi N' di rango successivo superiore ad M'; e di seguito N coniugata di N'. 
Ma, dovendo essere uguali i gradi di M ed N, ò necessario che M' ed IN' siano di una 
stessa. classe ; se ciò non è, il problema è impossibile. Ora questo accade in due soli 
casi : quando M contiene un solo elemento , e quando ne contiene due con indici che 
difieriscono di 1. Infatti, se M = a/, si ha (n." 24) M' = a/; quindi IN" ha la forma 
(n." 7) ttj^a^, j , ed è di classe diversa da M'; se M = a/a^^, j, si ha M' = «p a''^^^ , ed 
N' = a,'' a^^^p^, , anche di classe diversa da M'. Esclusi questi due casi, il problema ò sem- 
pre possibile. 
Supponiamo per fissar le idee che M contenga quattro elementi, e sia : 
p q r s ' ' 
la coniugata M' di M, con gl'indici in ordine crescente (nota al n.*^ 23), sarà : 
9-P P 
ma a questo punto occorre distinguere due casi : T, s — r>. 1 ; 2", s — r = 1 . 
Caso T; s — r>.l. In questo caso la combinazione IN' successiva e superiore ad M' 
ha la forma : 
y ■'■-1 Q-p p 
e resta nella classe di M', qualunque numero di elementi abbia M. Quindi N, conjugala 
di IV', è di grado eguale a quello di M, e si ha in effetti : 
IN = fl^, rt^^j a. , 
Il peso di N essendo eguale al peso di M, l' indice z è determinato dalla forinola : 
. = (1) 
e perciò: /' indice Z dell'ultimo elemento di N è uguale al penultimo indice di M, accre- 
sciuto della differenza tra il peso dell'ultimo fattore di M e quello del penultimo fat- 
tore di ^ . 
Atti — Voi. r/// — N.o 1. 
