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l'indice preccdonlc q-\~l se i tre ulliini indici di M sono i numeri consecutivi r/, r/-f 1, 
q +2, e nello stesso tempo l'ultimo esponente 5 eguale ad 1 ; cosi da M = a^c(^a^., a^,, 
a (3-1 1- ' 1^"' ■'"^^ 
segue N = a^ a^^^^ a_^^, , o meglio N = a,^ a,^,i . 
29. Come dalla data combinazione M se ne deduce un' altra dello stesso grado, 
così da (piesta può dedursene un'altra, poi da questa un'altra, e così di seguito finché 
si possa, cioè finché non si giunga ad una combinazione di un solo elemento, o di due 
elementi, ma con indici difierenli di uno. In questo modo si ottiene un sistema di com- 
binazioni di uno stesso grado, dotate della proprietà che le loro conjugate, necessaria- 
mente di classe eguale al grado, sono di rango successivo ascendente. 
Segue da questa proprietà che per trovare tutte le combinazioni di grado asse- 
gnato m basta applicare il processo prendendo come iniziale la combinazione di grado m 
conjugata alla combinazione di rango più basso della m"" classe, vale a dire alla prima 
combinazione di questa classe, a"~'" a,„ (n." 18, II); e quindi la combinazione iniziale 
per la ricerca di tutte quelle di grado m sarà a,'" ' . Il sistema delle combinazioni 
di grado w, trovate col metodo attuale, coincide adunque esattamente col sistema conju- 
gato a quello delle combinazioni della m"""" classe; ed in tal guisa è riprodotto il teo- 
rema già enunciato al n.° 27. 
30. Il complesso de' sistemi di combinazioni di tutt' i gradi 1 , 2 , 3 , . . . , ?i ripro- 
duce, diversamente disposto, il completo sistema delle combinazioni di peso 7i, che si 
ottiene co' metodi precedenti : questo ordinato per rango ascendente, quello per gradi 
ascendenti; ma i due sistemi sono tra loro conjugati. Per esempio, le combinazioni di 
peso 9 ordinate per gradi sarebbero : 
«1^8 
"a 2 
a, 
, a 
«2 «7 
, «J 
a, (ig 
> '^l^'^2 
«5 
, a 
'«2 «3 
«4 
, «l'«3' 
, «, 
3 3 
"2 
a, a. 
, fi; 
< 
«2" 
«3^ 
, fi,-* 
«2 
«3 «4 
"3 
e le coniugate riprodurrebbero il sistema ordinato per rango ascendente. 
31. La ricerca delle combinazioni di peso n e di grado ni nella teoria della parti- 
zione corrisponde alla ricerca delle partizioni di n in m parti uguali o disuguali. Ora le 
regole algoritmiche, date per risolvere la prima quistione, si traducono facilmente in re- 
gole di partizione esaminando come funzionano nelle partizioni corrispondenti alle com- 
binazioni M ed N. Indicando queste partizioni rispettivamente con P e Q, nella ipotesi 
di s >> r 4- 1 , si ha : 
a parti/) p parti ^ -/partir J parti s 
P= pp . . . pp qq . . . qq rr . . . rr ss ... ss 
a parti ^3 /Sparti^ (7 — 1) partir parli (r-|-l) 1 parte 
Q— pp . . . pp (jq ■ ■ • qq rr . . . r (r-|-l) (r-f-l) . . . (r-f-l) s ' 
