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vale a dire per passare dalla partizione P a Q bisogna sostituire la parte r -j- 1 all' ul- 
tima delle parti r a dritta delle parti s in P, ed a ciascuna di queste stesse parti, ec- 
cetto r ultima, alla quale bisogna sostituire il numero che rende la somma di tutte le 
parli di Q uguale alla somma di tutte le parti di P; numero evidentemente uguale ad 
r-j-Ss — Ora richiamando la regola di Hindenburg (pag. 11) per dedurre l'u- 
na dall' altra le partizioni di un numero in vi parti , si riconosce senza più che , 
quando s>>r-[- 1, il processo per passare da P a Q coincide esattamente con la regola 
di HiNDENBURG ; uia ora è chiaro che la conchiusione non è diversa nella ipolesi di 
s = r-{- 1, perchè in questo caso si ha: 
a parti p ,S parti q ■/ parti ?• à parti (r -\- 1) 
'P=pp ' ' • pp 11 • • • l'I rr . . . rr . . . (r-[-l) (r-)-l) ' 
«parti;) — 1) partii (7-[-(5') parti («/-j-l) 1 parte 
Q=pp .. .pp iq . . .q (74-1) 1) . . . ('7+1) ^ 
Ciò che precede dimostra che il sistema delle partizioni di un dato numero n in m 
parti uguali o disuguali *) risultante dal nostro algoritmo isobarico, coincide esattamente 
con quello che risulta dalla regola di Hindenburg ; e quindi segue il teorema già annun- 
ciato (pag. 15), che: I sistemi di partizioni di uno stesso numero di Boscovich e di Hin- 
DENBURG sono tra loro coniugati. 
') Occorrendo in molti casi di doversi decomporre un numero in un numero assegnato di parti disu/juali, faremo osservare che 
questa decomposizione può farsi dipendere da quella in parti uguali o disuguali Supponendoli sistema delle partizioni di n in m 
parti uguali o disuguali, alle m — ! parli di ognuna, a contare dalla seconda all' ultima, si aggiungono per ordine i numeri della 
serie naturale l,2,3,...,m — l;c clii;u-o che in tal guisa quelle partizioni divengono tutte le possibili partizioni in hi parti di- 
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suguali del numero n-j ; né oltre a questa può esservene alcun' altra, perchè se vi fosse, togliendo dalle sue parti, 
a contar dalla seconda, i numeri 1, 2, 3,..., m — 1, ne risulterebbe una nuova partizione di n 
in m parti, non compresa tra le prime. Può vedersene a Iato un esempio; nello specchietto I 
sono iscritte le partizioni di 10 in tre parti uguali o disuguali (e, già s'intende, con le parti 
sempre disposte in ordine crescente); e nello specchietto II si trovano quelle formate dalle 
prime, eoa aggiungere ordinatamente alle ultime tre parti di ciascuna i numeri 1, 2, 3; que- 
ste ultime sono adunque tutte le possibili partizioni del numero 10 in quattro parti di- 
suguali. 
Per tanto, volendosi le partizioni di un numero n in m parti disuguali, si cercheranno 
prima le partizioni in m parti uguali o disuguali del numero ?i — — - ; e da queste si 
passerà a quelle, aggiungendo per ordine alle ultime m — 1 parti di ognuna, a contar dalla 
seconda, i numeri 1, 2, 3, . . . . , m — 1 . 
Da ciò che precede risultano immediatamente questi teoremi di EiiLEiiO: 
// ìiumeru delle parlnioni di n in m parti uguali o disuguali è uguale a quello delle partiiioni del numero n -\- '^^-^^'^ — — 
i7i m parti disuguali. 
Il numero delle partizioni di n in m parti disuguali è uguale a quello delle partizioni del numero n — — — in ra 
parli uguali o disuguali. 
E da questo, messo di accordo con (lucllo enunciato nella nota al num. 27, è facile di dedurre che : 
// numero delle partizioni di n in m parti disuguali è uguale a quello delle partizioni del numero n — '^5Ì!?Ltl.' in parti 
uguali 0 disuguali non maggiori di ra 
I. 
II. 
1 
1 1 7 
1 
2 3 10 
1 
1 2 C 
1 
2 4 0 
1 
1 3 5 
1 
2 5 » 
1 
1 4 4 
1 
2 0 7 
1 
2 2 5 
1 
3 4 8 
1 
2 3 4 
1 
3 5 7 
1 
3 3 3 
1 
4 r. e. 
2 
2 2 4 
2 
3 4 7 
2 
2 3 3 
2 
3 5 6 
