Proprietà elementari delle funzioni isobariche a divisori fottoriali 
35. Se le n funzioni V,,^, , V„_,, V,_, , . . . , V, , si moltiplichino ordinalamenle 
una volta per a, , , a., , . . . , a,^ , , , ed una volta per a, , 2a^ , ;]a., , . . . , (n— 1 ) a , , na^ , 
le somme de' prodotti 
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saranno entrambe funzioni isobariche interminate, di peso n, ed a divisori falloriali. 
Che questo somme siano funzioni " isobariche di peso n è evidente ; ma di più 
ciascuna è completa, perchè se mancasse una combinazione P = a^"a,/ . . . a^^ 
mancherebbe la combinazione Q = a^'"' aj'^ ... a ; il che non è vero , le V essendo per 
ipotesi tutte funzioni isobariche complete. Resta a dclcrminare i coefficienti. 
Risulta dalle precedenti osservazioni che la combinazione P deve riprodursi in 
tutt'i prodotti a^V_^_^^, ft^V, ,^ (^t^„^t-> prendendovi gli stessi coetficienti che la 
combinazione Q prende nelle funzioni V^_p , V^^_^^ ■, • • ■ , V^^^ . In V;_^ questo coefficiente 
è (7-li)!^ !T^):r~ ' ° ^^"^ ^'^^^ ; e qumdi, aven- 
dosi risultamenti uniformi per le altre funzioni , è palese che nelle due somme la com- 
binazione P prende rispettivamente i coefficienti 
(„+p+:..+-„)?w:P+^>-y , ■+'-!) 
i quali, fatta astrazione da' divisori fattoriali, e tenendo presente che 
si traducono in — 1) ed n'^{(j — 1). Ne risulta che le due somme equivalgono a 
funzioni isobariche a divisori fattoriali, di peso n, determinate rispettivamente dalle 
funzioni caratteristiche — 1) ed n^{<j— 1); e si hanno in conseguenza le due nota- 
bilissime formolo 
(B) V«_i + 2 «2V„_o. -y 3 «3V„_3 + . • • + na^^\ =\n'f{0- 1) A"„ | ; 
le quali hanno per l'algebra molta importanza, come si vedrà nelle applicazioni se- 
guenti, e che deriva specialmente dalla indeterminazione della funzione 9(f/). 
36. Nell'analisi precedente abbiamo tacitamente supposto indefinito il numero degli 
elementi" a, o, che torna allo stesso, superiore al peso n. Ora, se il detto numero è 
uguale ad m<^n , le proprietà dimostrate non cessano di sussistere, ma solo spariscono 
i termini con elementi d'ordine superiore ad m , e quindi i primi membri delle for- 
molo (A) e (B) si arrestano a' termini a V ed ma V 
