il secondo membro è riilucibile a (1 —ax) '(l —bx)"^ ... (1 — /a;)^' ; ma cangiando 
i binomi ne' noli svilu[)i)i, e sosliliiendo al primo mcndjro lo sviluppo (S) , si avrà 
\-\-v^x^-v^x''-\-v^x^- . . . =(l-l-fla;+a2a;2+ . . . )(^iJ^ix-lh''x''-\- ...)... {\-{-lx-\-fx''^- . . . ) , 
e saranno eguali ne' due membri i coedìcienli delle potenze simili di x. Ora, visto che 
nel secondo membro ogni potenza di x è accompagnata da una potenza simile di una 
radice , si riconosce subito la legge che regola i coelllcicnli nello sviluppo del prodotto. 
11 coellicicntc di x è somma di tutte le radici; quello di ar somma de' prodotti di tutte 
le radici due a due, con ripetizione; quello di cc^ somma de' prodotti di tutte le radici, 
tre a tre, con ripetizione; e così di seguito. Dunque il coetllciente di .t" equivale alla 
somma de' prodotti delle radici, prese n ad n , con ripetizione, ossia alla somma di tutte 
le funzioni simmetriche di grado n ; (juindi, eguagliando i coelFicienli delle potenze si- 
mili di X ne' due membri , si ottengono le relazioni 
v^ — 'Za 
r^ = Za*-\-^aH-\--Za^b''-\-^aHc-Y-cibcd 
ecc. ecc. ecc. 
e ne segue che: La funzione ■isobarica v^, relativa a' coefficienti dell' equazione X ~0, 
esprime la somma di tutte le funzioni simmetriche delle radici, di grado n; o, in breve, la 
funzione simmetrica completa di grado n. 
Così, mentre coefficiente di x" nella equazione X^=:0, esprime la somma dei 
prodotti delle radici, prese n ad n, senza ripetizione, la funzione V , al contrario, 
esprime ancora la somma de' prodotti n ad « delle stesse radici , ma con ripetizione *), 
Valori di ?'„ in casi particolari 
43. Diverse applicazioni esigono che si possono definire a priori i valori della 
funzione v^^ relativi alle due equazioni particolari 
x^'-l = Q (10) 
a;"' + cc"'-i + + 1=0 (11) 
qualunque sia il grado m. 
Il valore di relativo all'equazione binomia è quello che prende la funzione sim- 
*) Questa proprietà venne da noi dedotta da altri principi in una nota intorno alle funzioni simmetriche complete, già conside- 
rate dal WnONSKi col nome di funzioni aleph dalla caratteristica in carattere ebraico di cui si valeva per dinotarle, ed inserita nel 
voi. 2° del Giornale di Matematiche ( 1861). La dimostrazione data nel testo è dovuta al eh. Prof. Fekgola, dal quale mi venne 
gentilmente comunicata. 
