ne (11), di grado m, la funzione e, non può prendere che tre distinti valori, cioè 
1, — 1 , 0; e si ha propriamente 
t\^= 1 , se « è divisibile per w 4- 1 ? 
V := — 1 , se n—l ò divisibile per m-\-l , 
v^= 0 , in (iualun(iue altro caso. 
E sono questi ancora i soli valori che può prendere la somma algebrica de'coefll- 
cienti nella espressione sviluppata di il che costituisce una ragguardevole proprie- 
tà. Ne risulta in particolare che , se ìn = n , il valore di è sempre nullo; il che vuol 
dire che è sempre nulla la somma algebrica de' coelllcienti nella espressiane di u^, , 
quando il numero degli elementi , cui si rapporta, è uguale al peso n, come si può ve- 
rificare nelle (2). Supponiamo, ancora per esempio, che si domandi la somma de' coeffi- 
cienti in quando si hanno tre soli elementi , a^, a.^; in questo caso, essendo — 3, 
e siccome nè 6, nè 5 sono divisibili per 3 -[- 1 , la somma de'coelTicienti è parimenti 
nulla; in effetti l'ultima delle (2) si riduce a 
e la somma de' coefficienti è zero. Se gli elementi fossero due, , a, , essendo m=2 , 
e quindi G divisibile per 2-j- 1 , la somma de' coefficienti in sarà eguale ad 1 , come 
può verificarsi , poiché in questa ipotesi si ha 
= a.^ — 5(3!/ «2 ~1~ Qct^ — . 
Art. 2.° — Relazioni tra le funzioni v e le somme delle j^otenze simili delle ?~adici. 
46. Indicando con s,, la somma delle potenze simili di grado n delle radici dell'e- 
quazione X„,=0, tra i coefficienti a e le somme s, si ha la conosciuta relazione XeNvto- 
niana 
la quale, ponendo «==1,2,3,..., porge il sistema lineare 
— 0 
'^2 + «l'^i + 2«2 — 0 
S3 + rtj52+ «2^ + 3fl3 = 0 (2) 
s^ + a^ s^ -f a.,s, +«3 + 4 rt, = 0 
0 se n 
0 se w 
"1 
(mod. m -|- 1) 
