ora, per la notazione convenuta al n." 3i, ciò vuol dire che l'espressione di .s„ risulta da 
quella di r„ uioUiplicandola per /< , e dividendone o.^ni termine pel proprio i^rado; di 
modo che si può passare immediatamente dalle t' alle s; ed è così, per esempio, che 
le (2) darebbero 
Si = — n^ 
«3 — ^ rt,'' -f - 3 « j «2 3 «3 
s^= rt,^ — 4(t^'^ (i.,-{-2a/-\-Aa^ «3 — 
= — a^^-\-5n^^ a-i — 5«, a.^ — 5 a^' -J- 5 «3 -j- 5 fl^ — 5 a. 
Sg = a/ — 6 a^* a.^ -\- 9 — 2 -r ^3 — 12 a^ a.^ a.^-\-2a^^ — Qa^^ + Ga^ a^-^-Qa^a. — G 
ecc. ecc. ecc. ecc. ecc. ecc. 
49. Come per la funzione così anche per la funzione s si può definire il suo 
valore relativamente alle radici delle equazioni (10) ed (1 1) considerate al n° Ali. 
In quanto alla equazione binomia (10), si sa che il valore di s_ è uguale al 
grado VI dell'equazione, se n è multiplo di n, ed è nullo nel caso opposto. Rispetto 
alla seconda è evidente che il valore di s è quello che prende l'espressione gene- 
rale della somma delle potenze di grado m delle radici dell'equazione X =0 quando 
i coefficienti , a^, . . . , ft^^ si riducono all'unità , ed equivale in conseguenza alla som- 
ma algebrica di tutt'i coefficienti della detta espressione. Una proposizione è conosciuta 
a tal riguardo, ed è che la somma di questi coefficienti è sempre uguale a — 1, ma 
questa proposizione vuol' esser meglio definita; infatti essa è vera finché il grado m 
della equazione è indeterminato, o meglio finché questo grado é superiore ad ?ì , e cessa 
di esserlo quando si ha, al contrario, m<<n. Ora, siccome è questo il caso che più 
frequentemente interessa le applicazioni , ridurremo qui la proposizione a giusti termi- 
ni. E la cosa é molto semplice; infatti, essendo 
a;'"*' — 1 
^m-i _ _ _^ _|_ 1 ^ ± ^ 
OC 1 
se si dinotano rispettivamente con ed s'\^ le somme delle potenze di grado n delle ra- 
dici delle due equazioni ce"'*' — 1 —0 ed x — 1=0, si ha s =s' — s'\; ma s'^ equivale 
ad m-f- 1 , se n è multiplo di m-{- 1 , ed é zero nel caso contrario, ed s" è sempre 
uguale ad 1; dunque se n è multiplo di m + l, si avrà s^=m-{- 1 — 1 = 771, e nel caso 
opposto si avrà s = — 1 . Riassumendo, si ha la seguente proposizione : 
Indicando s^ la somma delle potenze di grado n delle radici dell' equazione 
si ha 
5^ = — 1 , se n è multiplo di m -\- \ ; 
s^^ — m , in qualunque altro caso. 
