Art. 4." — Proprietà delie funzioni isobariche dipendenti dalla derivazione. 
52. Sia u^^ una funzione isobarica di peso n relativa agli elementi a^, a, , a^, . . . , 
che ora riguarderemo come variabili indipendenti , ed ammetteremo inoltre che questa 
funzione possa essere completa o incompleta , e con coellieienli qualunque. Essendo m 
funzione intera de' detti elementi, niente è piìi facile della ricerca della sua derivata ri- 
spetto ad un elemento a,; ma ciò che importa di osservare si è che i termini di u,, , i 
quali concorrono a formare la derivata, sono quelli soltanto in cui non manca l'ele- 
mento fl^, e che questi termini si traducono nella derivata, moltiplicati per l'esponente 
di con lo stesso esponente diminuito di uno, da che poi segue che la derivata è 
anch'essa una funzione isobarica di peso n — 
È chiaro dopo ciò che le due somme: 
dii^ , , du^ . . du du,^ du,^ du.^^ du^^ 
* c?«j ' ' r/«3 ' ' da,,^^ ^ da^ ' da^ ^ da^ f'Hn 
sono entrambe funzioni isobariche di peso n , ed è possibile di determinare i coefTicienti. 
Supponiamo che Ua^ a^" . . . sia un termine di ; è manifesto che questo termine 
si riproduce in tutti que' termini delle due somme, in cui sono in vista gli elementi 
a , a , . . . , a , ed in conseguenza si troverà nella prima somma col coefficiente 
(oc -|- ^ 4- . . . -|- \)k , e nella seconda col coelliciente (pa + 9? + . . • + 0^)k . Ma 
a _|- p _|- . . . -|_ X esprime il grado del termine , e jja + (/3 + • • • + ne dinota il 
peso, cioè n; dunque la prima sonmia è ciò che diviene la funzione , moltiplicandone 
ogni termine pel proprio grado , mentre la seconda riproduce la stessa funzione u^^ 
moltiplicata pel peso n; e quindi risultano le due formole 
dii^ 
' da^ 
1 ^'-''n 
^ da.2 
fll 
-, n 
""^da,-^ 
.2a -■ 
^ dn^ 
Queste formole, delle quali la seconda è conosciuta, esprimono interessanti proprietà 
delle funzioni isobariche, il che si manifesta a priori , riflettendo all'analogia che esse 
hanno colla notissima proprietà delle funzioni omogenee. 
U 
53. Usiamo la notazione ordinaria - — ^ , a ^ — n per significare una derivata 
d.it,^(la P . . . da/- ^ ^ 
parziale d'ordine qualunque \i. delia funzione m,, , presa rispetto a \i elementi qualunque 
eguali o disuguali ; ma per brevità diremo che questa derivata è relativa alla combina- 
zione a^a\..a^\ e l'ordine [j. della derivata sarà uguale al grado della combina- 
zione, vale a dire alla somma degli esponenti a , ,3 , . . . ,. X . Se // è il peso di questa 
combinazione, la derivata, come risulta da ciò che precede, sarà funzione isobarica di 
peso n — h; ma, in generale , niente altro si può aflermare intorno alla sua espressio- 
ne, se i coellieienli della funzione primitiva u^^ sono arbitrari. 
54, Però la natura della derivata può essere perfetta uiente dichiarata quando il peso 
della combinazione ò uguale a (piello della funzione primitiva, vale a dire quando h = n . 
