In questo caso, che è il più intcrcssanle per le applicazioni , il poso della dciivata si 
riduco a zero , ed il suo valore ò una coslante , che si definisco suhilo a priori. Sia /.-, 
nella funziono u^, il cocHicicnle della condjinazione a/' a,/. . . a\ che ora supponiamo 
di peso n; sarà 
ka^a^ . . . ecc. ecc. , 
e, (piali che siano gli altri Icrniini , è chiaro che, cercando la dcriv.ita di relativa 
alla combinazione mossa in evidenza , a derivazioni Unito niente altro può restare che 
ciò che proviene dal termino, che contiene questa combinazione, o si ha perciò 
,c<+(i+...-X 
55. Ecco ora alcune semplici, ma generali proprietà della l'unzione u , sia o no 
determinata, sia o no completa. Indichiamo per chiarezza con C\ una combinazione di 
peso n , e con A: il suo coelTiciente nella funzione « ^ , quando vi sia contenuta. 
I. La derivata di relativa alla combinazione è costante od eguale al prodotto 
del suo coelhciento /.• , moltiplicato pe' fattoriali de' singoli esponenti di C_. E se la fun- 
ziono u è a divisori fattoriali, la derivata è semplicemente uguale al coelTicicnte k. 
II. E nulla la derivata di u_ relativa a , se non è contenuta in . Recipro- 
camente, se la derivata è nulla, non può trovarsi in t*^ , e sarà /t = 0 . 
Ut. Sono nulle le derivate di u^^ relativo, sia ad elomenti con indici superiori 
ad sia a combinazioni di peso superiore ad n. 
Derivazione della funzione V,^ . 
56. Indipendentemente dal processo di derivazione si possono ottenere le de- 
rivate parziali di tutti gli ordini della funzione isobarica a divisori fattoriali definita 
in generale dalla forma 
Segue da ciò che precede che la derivata di V^^ rispetto ad un elemento qualun- 
que a è funzione isobarica di peso n — p , ma ora è possibile di determinare i coeffi- 
cienti. In fatti un termine di V^^ essendo della forma (n.° 34) 
■o^ . . . 
q • • • 
! i ! . . . À ! 
nella derivata rispetto ad a^^ diviene 
. . . a} 
Q 
('/—!)! (5! . . . À! ' 
e si vede che nel passaggio dalla primitiva alla derivata ogni termine ritiene il proprio 
coefficiente, e ritiene per divisori i fattoriali degli esponenti. Dunque la derivata è una 
funziono isobarica di peso w— p, a divisori fattoriali, perfettamente determinata; ed 
il coefiiciente di un termine qualunque è il valore che prende la funzione met- 
tendovi per (j il grado dello stesso termine accresciuto di 1 ; ond'ò elio si ha 
