63. E ora lacilissima la ricerca delle derivate parziali di ordini superiori delle fun- 
zioni V ed (i relative alle s. Sia s ' .v . . . .s/- una condjinazione di soniiue s, che sup- 
poniamo di peso qualuiKpie m e di ordine \i, di modo che si abbia 
per la ripetuta applicazione delle regole riguardanti la derivazione di 1" ordine si ha 
subilo 
Se il peso della combinazione è uguale al peso delle funzioni, vale a dire se m—n, 
le derivate divengono costanti , ed i secondi membri di (piesle forniole si riducono a' soli 
coellicienti. 
Quando la combinazione si riduce ad una potenza di , come s"\ si ha 
E nella ipotesi di ?n=r??, si ha semplicemente 
d"v, , d"a 
• 
64. Risulta dalle considerazioni precedenti che le derivate delle due l'unzioni r ed 
s , relative a quali che siano combinazioni di peso n, prendono valori costanti, vale a 
dire indipendenti dagli elementi , , , . . . . e dipendono soltanto dal grado della 
combinazione. Tornando utile di porre a confronto le regole dichiarale per le due fun- 
zioni, le riassumiamo nel canone seguente: 
Le derivale di v^^ ed s^ relative a qualunque combinazione degli elementi a, , a.,, a^,..., 
di 'peso n e di grado jj. , sono definite dalle formole seguenti : 
Derivata di r„ = ( — 
Derivata di — ( — 1)!^ {u. — 1) ! ?? . 
Così, per esempio, si ottiene immediatamente 
J^l^o , 4, . cfv,, dTv,^ ^ 
da^^da.^ dn^^da^da^ ~ da^da^^ da.'" daj" da^^ da^da.. 
+ 3!X1(> : :r- , 1"^-= ",-=-G!21. 
da^^jla^^ da^^da^da,. ~ ' ' da^da^da. da^^da^da^da. 
65. La importanza di queste proprietà così semplici si manifesta a priori riflettendo 
che nelle ricerche per avventura dipendenti dalle funzioni v„ ed s„, sarà sempre possi- 
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