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essendo permutabili i due fattori eguali, ne risulta una partizione isolata, ed il numero 
totale delle soluzioni è in conseguenza dispari. 
Per esempio, se è data la combinazione di peso 8, a\ a\ , e si debba decomporre 
in due fattori di peso 4, si troveranno tre soluzioni 
a\ n\ = {a\X n\) ^ {a\ a., X a\ «,) = {a\ Xa\). 
I due fattori della partizione di mezzo sono eguali, e si hanno due partizioni distinte. 
74. La ricerca di cui ci siamo occupati, ò un caso particolare,- ma il più importante, 
della quistione generale in cui si domandano le partizioni di una combinazione C,. in un 
dato numero di fattori di pesi assegnati p , ^ , r , . . . , / , la cui somma sia uguale ad n. 
Supponiamo che la combinazione si debba decomporre in tre fattori di pesi j), 
r, e riteniamo per fissar le idee p<C.q<ir. Siano C;, , C,^ , C, tre combinazioni atte a 
risolvere la quistione, in guisa che si abbia 
c„=c,xc,^xc,,. 
E qui, come nel caso precedente, si potrà prendere per qualunque combinazione di 
peso p , la quale divida C„; ma, oltre a ciò, se si considera il complemento di a C , 
vale a dire la combinazione, che risulta dalla divisione di C^^ per C,,, è chiaro che questo 
complemento, che è di peso 7i — p=q-^r ^ e può rappresentarsi con C__^, , torna equi- 
valente al prodotto delle altre due combinazioni , C , di modo che si avrà 
c„_,=c,^xa. 
Ciò dimostra che, quando le tre combinazioni C^^ , C^ , C_. , formano una partizione ter- 
naria di C„ , le due ultime C^^ , C^ formano in ogni caso una partizione binaria del com- 
plemento di C^, a C,^ ; ed in conseguenza il completo sistema delle partizioni ternarie 
può essere ottenuto nel modo seguente : 
Si scelgano tutte le combinazioni di peso p , che dividono C„ , e supposto che siano 
C; . C';,...,C%, (3) 
si cerchino i loro rispettivi complementi a C„ , cioè 
^n-p 5 C , . . • , C*"„_^, . (4) 
Posto ciò, se un complemento qualunque si decomj)onga in tutt'i modi in due fattori 
di jjesi p e q , ed a ciascuna delle partizioni binarie così ottenute si accoppii^ come primo 
fattore *) , la combinazione corrispondente C"'* ^ , ne risulterà sempre un sistema di parti- 
zioni ternarie per la combinazione C^; ed in conseguenza applicando questo processo a 
tutt'i complementi, si avrà il completo sistema delle partizioni ternarie, che possono risol- 
vere la quistione. 
') In questa ricerca è necessario di tener conto dell' ordine, con cui si succedono i fattori; quest'ordine da principio può es- 
sere arbitrario; ma, una volta un ordinamento adottato, non è più lecito di alterarlo. La cosa potrebbe essere indifferente finché 
sono disuguali i pesi di tutt'i fattori , ma nel caso contrario l'osservanza dell'ordine è condizione indispensabile. 
