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U , V Z, dinolano m funzioni isobariche, e sia n la somma de' loro pesi />, r/,..,, s, 
secondo ciò che precede sarà costante la derivala del prodotto delle m l'unzioni relativa 
alla combinazione C , , e si avrà 
(^^P^\^ scostante. 
Per ollenero l'espressione di questa costante bisogna cercare tutte le partizioni di C„ in 
m fattori di pesi ^ , . . . , s. Ammettiamo dapprima che una sia la partizione , e che 
si abbia 
C,=(C,XC,^X...XC,) ; 
in questa ipotesi l'espressione avrà un termine solo, il quale, a parte un coefficiente nu- 
merico /.', è il prodotto delle derivate delle m funzioni U^, V , . . . , Z^, prese ordina- 
tamente rispetto a C^^, C^, . . . , C^, e quindi l'espressione della costante sarà definita 
dalla forinola 
("'\-'')=Mf?:)(^;)-©- « 
Resta a determinare il valore di k, il quale dipende immediatamente dagli espo- 
nenti della combinazione C^, e quelli de' suoi fattori C^, C^, • • • ,C^- Prendendo 
è poi lecito di supporre 
e si osserverà , che la somma degli esponenti di un elemento qualunque a, , in tutte le 
combinazioni , C , . . . , C., deve riprodurre l'esponente dello stesso elemento a. in 
C , ; da che risultano le relazioni 
Premesso ciò abbiamo dimostrato nell'appendice che, in generale: Il coeifi- 
« ciente di un termine , appartenente allo sviluppo della derivata d'ordine qualunque 
« del prodotto di funzioni di più variabili, equivale al prodotto de' fattoriali degli espo- 
« nenti totali di derivazione di tutte le variabili diviso pe' fattoriali di tutt'i loro espo- 
« nenti parziali ». Nel caso presente gli esponenti totali di derivazione delle variabili 
sono niente altro che gli esponenti della combinazione C„ , e gli esponenti parziali sono 
quelli de' suoi fattori C , , . . . , C,^; dunque il valore del cofficiente nella formo- 
la (1), è determinalo immediatamente da una forma frazionaria, che ha per numera- 
tore il prodotto de' fattoriali di tulli gli esponenti di C , e per denominatore il prodotto 
de' fattoriali degli esponenti di tutt'i suoi fattori , C , . . . , C.; e si ha, in conse- 
guenza , 
Osservando alle relazioni (2), si vede che questa espressione dà sejnpre un numero in- 
tero, che può farsi risultare per via di semplici soppressioni di fattori comuni al nume- 
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