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III. Siano tlale le duo funzioni diflerenti, ma di pesi uguali , , c la combina- 
zione = a\a-.^ . In questo caso si hanno due distinte [)artizioni 
a\ = {a\ X «%) — («^ «2 X «^ «a) ; 
ma essendo permutabili i due fattori della prima, la medesima dà origine a due termini 
4 ! 2 ! 
con lo stesso coefficiente —1 ; 1' altra partizione dà luogo ad un termine solo, col 
4'2' 
coefficiente gj^l = 42 , e quindi risulla 
&,I0=(";) (!-:)+ S;) ilO+^Jx) 
80. Nelle applicazioni le formole risultanti da questa teoria potranno tradursi in 
numeri quando si conoscano i valori costanti che prendono le derivate delle funzioni 
, V , . . . , Z , come accade in particolare a riguardo delle funzioni v ed s, per le quali 
i detti valori si calcolano imuìediataniente , secondo le regole date nel n" G4. Ma intor- 
no a ciò richiamiamo tutta l'attenzione sul più semplice de' casi, che presenta questa 
teoria, vale a dire quando si hanno due sole funzioni sia una v ed una s, sia due s, es- 
sendo questo caso il fondamento per la risoluzione di importanti e difficili quistioni. 
D'altronde in questa ipotesi tutto si semplifica, a cominciare dalla decomposizione delle 
combinazioni, che va sempre operata in due fattori, il che non esige nè calcolo nè stu- 
dio; ond'è che i valori numerici delle derivate del prodotto di due funzioni di tal fatta 
si ottengono ordinariamente quasi a colpo d'occhio. Eccone alcuni esempii , che ormai 
non hanno bisogno di alcun' altra dichiarazione: 
UX) (:/)=3(+3.1!)(-f2!) = 3.3.2 = 18 
(«{0=2?^, {a{) (;:) = 10(4.1!)(-3!) = -10.4.6 = 240 
U&3)=IÌ(^)(A)=(^-10(O.l!) = 4.O=24 
/ «3% \ 4!2! fs,\ / s, \ , 4!2! ( s, \ ( s, \ 
— 3;2! "T g, UjA,/ vi^iU,! — 
= 4 (—3.2!) (_5.2!)-i-8(3.1!) (5. 3!) = 4.G.10-f 8.3.30=960 
\a\a^,aj~ 3, W^aJ UifljflJ +213! Ui^-J U^j a J + 3 U, « J U^a\/ — 
= 8(5.3!)(— 3!) + 4(— 5.2!)(4!) + 4(5.1!)(— 5!) = .4800. 
Si può osservare che i termini , che compongono i valori numerici di queste deri- 
vate, prendono sempre uno stesso segno, il quale è il + o il — , secondochè il grado 
della combinazione di elementi cui si riferisce la derivala del prodotto è pari 0 impari. 
