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lettere qualunque, il secondo con q lettere diverso dalle prime, il terzo con r lettere di- 
verse dalle prime e dalle seconde; e così sino all' ultimo, pel quale restano disponibili 
t lettere diverse da tutte le precedenti. Dunque il primo gruppo è una combinazione 
della classe p di tutte le n , o + + + • • • + ^ + ^ lettere; il secondo, una com- 
binazione della classe q di </ -|- ^' + • • • + « + ^ lettere; il terzo, della classe r di 
r -\- . . . -\- s -\- t lettere; e cosi fino all'ultimo, clie è l'unica combinazione della classe 
t di t lettere. Il numero delle partizioni, cbe soddisfano alle condizioni prescritte, equi- 
vale in conseguenza al prodotto de' coelìicienti binominali 
e però indicandolo con N , e tenendo presente che {t)t = I , si ha la formola 
(1) N = (p-f? + r+...+ s + 0^(^-}-,- + ...-{-5-t-0,0- + --- + 5+0....(s-t-0. . 
Ma si può dare a questa formola una forma simmetrica, indipendente dall'ordine dei 
gruppi. Infatti, se h ed / sono numeri interi, si ha 
<^> W.=S(^ ' 
trasformando con questa formola i coefTicienli binominali, e sopprimendo i fattori, che 
si elidono, risulta 
(3) ^^_ ÌP + 1-\-^ + '-- + ty- ^ n\ 
'p\q\r\...t\ p\q\r\...t\ ' 
3. Abbiamo tacitamente supposto che non vi fossero gruppi simili, cioè gruppi con 
egual numero di lettere, e quindi disuguali i numeri p ^ q ^ . . . , t ; ed allora le parti- 
zioni, che si ottengono col processo indicato, sono evidentemente distinte. Nel caso op- 
posto ogni partizione deve riprodursi un certo numero di volte, col solo divario di 
un ordine diverso ne' gruppi simili ; la formola (3) dà in ogni caso il numero totale 
delle partizioni, lo dà, cioè, incluse le ripetizioni; ed occorre di modificarla, se si vuole 
il numero delle sole partizioni distinte. 
Supponiamo che nove lettere a , 6 , c , . . . , /t , ^ si debbano ripartire in quattro 
gruppi, tre de' quali, ognuno di due lettere, ed il quarto di tre lettere; si potrà com- 
porre una partizione a piacere, prendendo ad arbitrio pe' gruppi binari tre delle com- 
binazioni due a due di tutte le lettere, purché a lettere diverse; per esempio scegliendo 
le combinazioni ab , ed ,6/, si ha la partizione 
ab , ed , ef , ghi . 
Ora, salvo rimanendo il quarto gruppo, si può dare a' primi tre gruppi una diversa 
disposizione, e si ha sempre una partizione compresa nel sistema, la quale però non è 
distinta dalla precedente, perchè non ne differisce che nell' ordine de' gruppi, e ne è 
quindi una ripetizione. Questa ripetizione ha luogo evidentemente tante volte quante 
sono le maniere nelle quali si possono permutare tra loro i gruppi simili; così la parti- 
