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zione considerala per esempio, e quindi ogni altra partizione del sistema si ripeterebbe 
3! volte; ma, in generale, supponendo a gruppi simili, ogni partizione si ri[)elerà a! 
volle. Se vi sono più sistemi di gruppi simili, ciascuno darà luogo ad una conseguenza 
analoga; e però, ammettendo che si abbiano a gruppi di p lettere ognuno, p gruppi 
di q lettere, y gruppi di r lettere, ecc. ecc., ogni partizione si ripeterà tante volte 
quante sono le unità del prodotto alply!. . . Dunque, incluse le ripetizioni, il nu- 
mero totale delle partizioni, che indicheremo con IN', coerentemente alla formola (3), 
sarà espresso da 
(4) N'= • 
ma, volendosi il numero N delle &o\e partizioni distinte, bisognerà dividere il valore di 
N' per a ! p ! Y ! . . . , e quindi risulta 
(5) N== ^' 
«!i3!v!... {plf{qlf{r\y...Xo^\'fil'/\... ' 
4. Le formole, che abbiamo ottenute, palesano la relazione esistente tra la quislione, 
di cui ci siamo occupali, e quella in cui si domandano le permutazioni di n lettere nella 
ipotesi di lettere ripetute. La formola (3) esprime appunto il numero di queste permu- 
tazioni quando si hanno p lettere di una specie, q di un'altra, r di un'altra, ecc.; e non 
è diverso l'uCTicio della formola (4), perchè esprime lo stesso numero, nella ipotesi che 
si abbiano a diverse specie di lettere, ognuna di q lettere; ^ specie diverse, ognuna di 
q lettere , ecc. ecc. Ma un intimo legame esiste infatti tra le due quistioni, essendo 
evidente che da qualunque delle partizioni , composte secondo le condizioni prescrit- 
te , si possa dedurre il completo sistema di queste partizioni , permutando tra loro le 
lettere in tutt'i modi, ma da gruppo a gruppo, senza aver riguardo a permutazioni di 
lettere, che si trovano nello stesso gruppo; il che risponde alla condizione di non es- 
servi luogo a permutazioni tra lettere di una stessa specie. Ben vero, se vi sono gruppi 
con egual numero di lettere , con siffatto processo si avrebbero naturalmente tutte le 
ripartizioni, incluse le ripetizioni; ma, volendo le sole partizioni distinte , nell' operare 
le permutazioni da gruppo a gruppo, bisognerà escludere quelle che producono permu- 
tazioni di gruppi. 
Ora da ciò risulta che, se n lettere siano ripartile in « gruppi dip lettere, ^ dì q 
lettere, ecc. ecc., il numero delle permutazioni diverse delle n lettere da gruppo a 
gruppo è quello definito dalla formola (4), se non si debbano escludere le possibili per- 
mutazioni tra gruppi; e, nel caso contrario, è invece quello definito dalla (5). 
5. Considerando un sistema di partizioni, se occorra di tenere in vista alcune lettere 
particolarmente designate, converremo di circondarle di parentesi; per esempio, sup- 
posta la partizione 
uvabc , xyde , zfg , hi, 
la quale definisce il sistema delle partizioni di quattordici lettere in gruppi di cinque, 
di quattro, di tre, e di due lettere, scrivendo 
[uv)abc , [ccy)de , {z)fg , hi. 
