avremo designale cinque lettere, due nel primo gruppo , due nel secondo, ed una nel 
terzo. Ora, se le lettere designate si permutano in qualunque modo tra di loro, da 
gruppo a gruppo, senza toccare in nulla le altre lettere non designate, e salvo rima- 
nendo il numero delle lettere designate fissalo per ogni gruppo , si ha in ogni caso una 
partizione, la quale differisce dalla proposta solo per una varia disposizione delle let- 
tere designate; e tali sono, per esempio, le due seguenti partizioni: 
(xz)abc , {rìj)de , (u)fy , hi, 
(•-') 
{vy)aòc , {xì/)de , {ti)f(/ , /;/ . 
l'osto ciò, se si domanda quante sono nel completo sistema le partizioni distinte, le 
quali dilleriscono tra loro soltanto per una diversa disposizione delle lettere designate, 
subordinata alle condizioni prescritte, la risposta è facilissima. Se non vi sono gruppi 
simili di lettere designale, il numero delle dette partizioni è precisamente uguale al nu- 
mero delie partizioni delle sole lettere designate; ma, nella ipotesi contraria, occorre di 
distinguere due casi : o i gruppi simili di lettere designate sono accompagnali da altre 
lettere non designate , come nell'esempio proposto; o non sono affatto accompagnati 
da altre lettere , come sarebbe se fosse data invece la partizione 
{uv) , (ojy) , {z)fy , hi, 
nella quale i due gruppi simili non sono acconipagnati da altre lettere. In enlrambo i 
casi l'esistenza di gruppi simili fa si che ogni partizione di lettere designate si ripeta 
un numero determinato di volte, con ordine diverso ne' gruppi simili; ora nel primo 
de' due casi le partizioni ripetute di lettere designate, accompagnate dalle altre lettere, 
divengono necessariamente partizioni distinte di tutte le lettere, come di fatto si veri- 
fica nelle (6) ; ma nel secondo caso, le partizioni ripetute di lettere designale restano 
sempre ripetute nel sistema delle partizioni di tutte le lettere. 
Queste considerazioni si riassumono nel canone seguente: 
Data una partizione con lettere designate, il numero delle 'partizioni distinte com- 
prese nel sistema , le quali in niente altro differiscono tra loro che per una varia disposi- 
zione delle lettere designate, e uguale al numero delle partizioni delle sole lettere designa- 
te, salvo ad includere o ad escludere dal computo di questo numero le possibili ripetizioni 
di partizioni, provvenienti da gruppi simili di lettere designate, secondochè questi gruppi 
sono 0 no accompagnati da altre lettere non designate. 
G. AJa, applicando le formole precedentemente dimostrate, si può concretare come 
segue il processo pel calcolo effettivo del numero, che forma il soggetto del canone. 
Sia data una partizione con m lettere designate , distribuite tra \>. gruppi se- 
condo i numeri, uguali o disuguali, m, , , • . • , e sia M il numero delle parti- 
zioni comprese nel sistema, le quali differiscono tra loro unicamente per una varia di- 
sposizione delle lettere designate , e ferme rimanendo da per tutto le altre lettere non 
designate. Posto ciò, se tra'jj. gruppi di lettere designate non vi sono gruppi simili; o, 
se, essendovene, sono accompagnati da altre lettere non designate, si ha sempre 
(7) M = - • 
m^\ ! . . . ! ' 
