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Caso 2" — Lettere ripetute. 
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7. Fin qui le lettere a ripartirsi si sono supposte dilFerenti; resta ad esaminare il 
caso in cui si ammettono lettere ripetute. In rpiesta ipotesi il sistema delle partizioni 
è quello che si avrebbe impiegando lettere disuguali, e poscia modificando quelle desi- 
gnate per divenire uguali *); il numero delle partizioni è dunque lo stesso ne'due casi; 
ma un esempio dichiarerà meglio la natura di questa importante ricerca. Supponiamo 
che una lettera a sia ripetuta tre volte, un'altra lettera b due volte, e che le cinque let- 
tere a , a , a ^ b , b debbano ripartirsi in tre gruppi, uno di una lettera, e gli altri due 
ciascuno di due lettere. In questo caso il numero delle partizioni, per la formola (9), 
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è uguale a ^^-^^^w] ì cioè a 15; impiegando cinque lettere qualunque t ^ u ^ v , no , y , 
le quindici partizioni a lettere disuguali sono le seguenti : 
t ^uv yXy ; u ,tv ,xy ; v ,tu ,xy , x , tv ,vy , y ,tu ,vx 
t , ux ,vy u ,tx ,vy v ,tx ,uy x , tv ,uy y ^tv , ux 
t ^uy ^ VX u ,ty , VX v ,fy ,ux x ,ty ,uv y , tu ,vx , 
e quindi , mutando in a ciascuna delle tre lettere / , m , t> , ed in b ciascuna delle altre 
due £P , ?/ , le quindici partizioni corrispondenti all'esempio saranno 
a ,aa ,bò ; a ,aa ,bb ; a ^an ,bb ; b ^aa ,ab ; b ,aa , ab 
a ,ab ,ab a ,ab ,ab a ,ab ,àb b ,na ,ab 5 , aa , ab 
a ,ab ,ab a ,ab ,ab a ,ab ,ab b ^ab ,aa b ,aa ,ab . 
Queste partizioni , come era da aspettarselo , non sono tutte differenti , e le distinte si 
riducono a tre (a , aa , bb) , (a , ab , ab) , {b , aa ^ ab) ; la prima si ripete tre volle , e 
ciascuna delle altre sei volte. Così la ipotesi di lettere uguali dà origine a due quistio- 
ni, delle quali si può domandare la soluzione, indipendentemente dalla formazione del 
completo sistema delle partizioni, e dal passaggio per lettere disuguali; l'una consiste 
nella ricerca diretta di tutte le possibili partizioni distinte; l'altra, nel definire diret- 
tamente quante volte si ripeterebbe nel sistema una data partizione. Non ci arrestiamo 
alla prima di queste due quistioni, che non ha interesse precipuo per le nostre applica- 
zioni, e che, del resto, è sempre di facile risoluzione ne'casi particolari **);e passeremo 
ad occuparci della seconda, la quale costituisce un importante elemento di analisi. 
■) Nella qiiislione astraila di partizione di lettere, le locuzioni lettere uguali e lettere disuguali non sarebbero precise; ma 
qui giova di adoperarle non potendo esservi luogo ad equivoci, e perdi è in fm de' conti in tutte le applicazioni le lettere saranno 
sempre destinate a rappresentare de' numeri. 
*■) Nell'esempio del testo si tiatta della ricerca delle partizioni distinte delle cinque lettere a, a, a, b, b in tre gruppi, uno 
semplice, cioè di una lettera, e gli altri due binarii Ora, se si prende per gruppo semplice la lettera a, pei due gruppi binarli si 
potrà prendere o la combinazione aa, bb, o l'altra ab, ab; prendendo invece per gruppo semplice la lettera b, pe'due gruppi bi- 
narii si avrà la sola combinazione aa, ab; e quindi si riproducono le tre partizioni {a, aa, bb) , {a, ab, ab) , {b, aa, ab). 
Torna utile di osservare che, in generale, questa quistione può essere considerata sotto un altro punto di vista. Supposto 
che le lettere a,b,c ,/ debbono essere rispettivamente ripetute a, ^,r, •■■,). volte, il sistema di tutte queste lettere si può rap- 
presentare col monomio a^ b^ ... l^; ed allora tanto è cercare le loro partizioni distinte in un dato numero di gruppi formati 
con numeri determinati di lettere, quanto è cercare tutte le maniere nelle quali è possibile di decomporre il monomio proposto in 
