8. La seconda quislionc ha per oggeKo di definire il numero che esprime quante 
volle una data partizione a lellere uguali si può ripetere nel sistema; per brevità chia- 
meremo (piesto numero indice della parliziotie. 
Ammettendo dapprima che la data partizione contenga una sola specie di lettere 
uguali, per esempio lettere a, le sup[)orremo distribuite tra p gruppi in (jualunque ma- 
niera, ed in qualunque misura. Posto ciò, se le lellere a si rimpiazzano con lettere dif- 
ferenti, lettere che riguarderemo corno particolarmente designate, si ha una partizione 
a lettere disuguali, la quale dilferisce dalla proposta solo in ciò che ne' detti p gruppi 
le lettere uguali vi sono cangiale in lettere disuguali. Ora, se in questi gruppi le lettere 
designale si permutano in qualunque modo tra di loro , da gruppo a gruppo , si ha in 
ogni caso una partizione appartenente al sistema completo, dotata della proprietà di ri- 
produrre la proposta quando vi si rimettono le lettere uguali. Le partizioni dotate di 
questa proprietà sono adunque tante quante sono quelle che differiscono tra loro sono 
per una varia disposizione delle lettere designate, ed il loro numero è appunto l'indice 
della data partizione; il quale in consegnenza è determinato, a seconda de' casi, dalle 
formolo (7) , (8) , (9). Attualmente i gruppi simili di sole lettere designale si traducono 
in gruppi identici di sole lettere a; e quindi possiamo enunciare la seguente proposi- 
zione : 
Sia l ^ r indice di mia data partizione con a lettera a distribuite tra p gruppi nella 
misura di ^ a, ^ . . . ; se non vi sono gruppi identici di sole a, si ha 
^" a 'a ' a"' ' 
ma , se vi sono sistemi di gruppi identici , come un sistema di Aj gruppi , un altro 
di A^ , ecc., sarà 
"~«,!x.,3...«^;.XA,!A,!... • 
9. Queste forraole si possono tradurre in una regola di più immediata e diretta ap- 
plicazione. In una partizione a lettere uguali chiamiamo esponente totale di una lettera 
il numero che indica quante volte essa è contata nella partizione; ed esponente parziale 
il numero che indica quante volte essa è contata in un gruppo. Se un gruppo di sole 
un determinalo numero di fattori di gradi assegnati. Così, tornando all'esempio, è quistione di decomporre il monomio a'^b- in 
tre fattori, uno di P, e gli altri due di 2o grado; e si trova immediatamente che tre sono le possibili decomposizioni, cioè : 
a3 b'^ = a .a'^ .h"^ = a .ah .ah = b . a"- . ah . 
Decomponendo le potenze in fattori semplici, si riproducono le tre partizioni ottenute come sopra. 
Per dare un altro esempio, supporremo il sistema delle sei lettere a, a, a, b, b, h; e cercheremo le loro partizioni distinte in 
quattro gruppi, due semplici e due binarli; si tratta adunque di decomporre il monomio di 6° grado 63 in quattro fattori, due 
di 10 e due di S'' grado: ora si trova facilmente che le possibili decomposizioni sono quattro, cioè: 
a'^b^=a.a.ab.b^ = a.b.a- .h^ = a.b.ab.ab=b h .a- ab ; 
e quindi si hanno altrettante partizioni distinte (a, a, ab, bb) , {a, b, aa, bb) , {a, b, ab, ab) , (b, 6, aa, ab). 
Se si domandano te partizioni distinte delle stesse sei lettere in tre gruppi di una, di due e di tre lettere, converrà decom- 
porre il monomio b^ in tre fattori di l^*, di 2° e di 3" grado, e ciò dà luogo alle sei decomposizioni 
a^b^ = a.a^.b'3=a.ab.ab'i=a.b-^.a^-b = b .b^.a3 = h.ab.a^b = b.u"-.ab^ , 
donde seguono altrettante partizioni. 
