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Icllere uguali è ripetalo più volte, cliiaiiierenio ancora esponente del gruppo il numero 
che indica quante voile esso è ripetuto. Poste (queste denominazioni, le i'ormole prece- 
denti si traducono nella regola seguente: 
L'indice di una partizione, che contiene una lettera ripetuta piìt, volte, equivale al 
fattoriale dell'esponente totale della lettera diviso pe' fattoriali di tutti gli esponenti par- 
ziali e pe' fattoriali degli esponenti de' varii gruppi di sole lettere uguali. 
Questa regola dà all'istante e senza calcolo di sorta la l'orma frazionaria, che espri- 
me l'indice di qualunque partizione con una sola specie di lettere uguali ; ed eccone 
degli esempì : 
13! 
Ind. [aaaaabc , aaaade , aaaf , a ,glii] 
Ind. \aabe , aade , aaf, aa ,ag , ah ,a , ikì^ 
Ind. \aabc ,aa ,aa ,aa ,a ikì} ~ 
Ind. \^aa , aa , aa , aa ^ a , a , a ikl^=^ 
5!4!3!ll 
11! 
(2!)Vl!f 
11! 
(2!)^(l!f X3!2! 
11! 
(2!)^(1!)3X4!3! 
10. È ora facilissima la risoluzione della quistione nel caso che la data partizione 
contenga diverse specie di lettere uguali; e perciò basta osservare che nel computo del- 
l'indice di una partizione, in cui si è supposta una sola lettera ripetuta, non influiscono 
per nulla le altre lettere; di modo che, se tra queste si trovasse un'altra lettera b ripetuta 
più volte, le conchiusioni sarebbero state esattamente le stesse; vale a dire si sarebbe 
trovato che pel fatto della lettera a la partizione deve ripetersi volte; ma, siccome pel 
fatto della lettera h la partizione deve trovarsi analogamente ripetuta volte, ne segue 
che pel fatto di entrambe le due lettere a e 6 la partizione si ripeterà tante volte quante 
sono le unità contenute nel prodotto I^X^j,- Io somma, esistendo più lettere ripetute, 
torna opportuno di distinguere due indici della partizione, V imo parziale, relativo a 
ciascuna di quelle lettere in particolare, ed è il numero che esprime quante volle la 
partizione si ripeterebbe pel fallo di questa sola lettera, come se non vi fossero altre 
lettere ripetute; l'altro complessivo, ed è il numero che esprime quante volte la parti- 
zione deve ripetersi pel fatto di tutte le diverse specie di lettere uguali. L' indice com- 
plessivo è appunto il numero che risolve la quistione; e da ciò che precede risulta, 
che: l'indice complessivo equivale al prodotto degl'indici parziali. Essendo già assicurata 
la costruzione degl'indici parziali , è in pari tempo assicurata la risoluzione della qui- 
stione. 
1 1 . Ma resta un'importante osservazione. Nella proposizione che abbiamo enunciata, 
è implicitamente contemplato il caso de' gruppi , che possono essere ripetuti nella data 
partizione, però formati da una sola specie di lettere uguali; i quali sono già conside- 
rati nella costruzione degl'indici parziali. Ma può darsi che la partizione contenga dei 
gruppi ripetuti di un altro genere, formati cioè da due o più specie di lettere uguali, 
per esempio più gruppi come «6, o come afte, ecc. ecc. Ora non occorrono altre dichia- 
razioni per comprendere che in questi casi, per avere il valore dell'indice complessi- 
vo , bisogna dividere il prodotto degl' indici parziali pe' numeri delle permutazioni re- 
lative a questi sistemi di gruppi ; e quindi, chiamando sempre esponente di un gruppo 
