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il numero che indica (luanlc volte esso è ripclulo nella parlizione, la risoluzione eoin- 
pleta della ([iiislione si riassume nella seguente proposizione: 
L'indice complessivo di una partizione clic contiene diverse sjìecie di lettere ripetute 
equivale al prodotto degl'indici parziali relativi alle diverse specie di lettere, salvo a divi- 
dere questo prodotto pe' fattoriali degli esponenti de' gruppi^ che si ripetono, conlenenti al- 
meno due specie di lettere ripetute. 
Supposto che la partizione contenga le lettere ripetute a, 6, c, . . . , e che 1,^,1^,1^,... 
siano i rispettivi indici parziali, se si rappresenta l'indice comj)lessivo con I^,^,^,,.., e 
si ammetta inoltre che vi siano de' gruppi ripetuti composti con più di una specie di 
lettere, e che X, p., v, . , . siano i loro esponenti, la proposizione precedente si tradurrà 
nella lormola 
I«. 6, c. • • • = la • • • X ^jTTt; ' 
la quale, se X, jx, v, . . . sono eguali ad 1, si riduce ad 
Sia, per esempio, la partizione con tre lettere ripetute a, 6, c, 
aaòbc , abcc , aa , aa , bc , bc bo 
in questo caso vi è il solo gruppo he con due lettere diverse, che si ripete tre volte, 
sicché si ha X=3, e si avrà quindi I^ ,^ _,=r:I„ 1, L. IMa 
_ 7! _7! 6! _6| _ 6! _6! 
" (2!)3 1!2! 2^ ' 2 ! (1 2 ' " 2!(1!)^ ^ ' 
dunque risulta 
_7! 6! 6! 1 _7!6!6! ' 
Io. ò, <• — 91 • y • y 37 ~ 2''3! * 
13. Tuttavolta trattandosi di un elemento che in diverse ricerche avremo bisogno 
di invocare ad ogni passo, gioverà togliere di mezzo l'intervento degl'indici parziali, ed 
ogni distinzione tra le specie de' gruppi, che si ripetono, e ridurre il processo pel cal- 
colo dell'indice di qualunque partizione alla seguente semplicissima regola: 
L'indice di qualsivoglia partizione è uguale al prodotto de' fattoriali di tutte le let- 
tere, diviso pe' fattoriali di tutt'i loro esponenti parziaU., e di quelli de' gruppi ripetuti di 
qualunque maniera. 
Come si vede, questa regola dà immediatamente il valore dell'indice, e si appli- 
cherà con maggiore semplicità, non tenendo conto de'fattoriali di esponenti eguali ad 1. 
Eccone degli esempi che comprendono tutt' i. casi : 
" , 10!8!3! ( 
Ind. ( aaaabbb , aaabbc , aabc , rtè , ) = - ^ sYs^Tq ! ol " | gi'uppi ripetuti. 
Ind. ( aabb ,aa ,aabb ,bb ,bb , ab ,ab)= Z''^"' . j I g':»PPÌ ' t J''''""'' rispettivamente 
^ ' ' ' ' ' ' / 2^X2.312 I gli esponenti 2, 3, 2. 
Ind. ( aabb , aabb , aabb ,bc ,bc ,bc,bc) = . [ ^ -^PP' ««^^ ^? ^''^""o ^1?'^° ^' esP°"«nte 
^ 2^X3!4! ( 3, il secondo l'esponente 4. 
Ind. (abc,abc,abc,a,a,a,a,a,b,b) = . [ Il Sf.'^PP^ l'esponente 3 ed i gruppi sem- 
^ ' ' 3!5!2! ( phci a e hanno per esponenti 5 e 2. 
