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Sulla derivata di ordine qualunque del prodotto 
di funzioni di più variabili. 
1. Tra' mezzi più fecondi di analisi dobbiamo annoverare la derivazione de' prò-* 
dotti di funzioni di più variabili, ed una serie di ricerche relative a diversi punti difficili 
di algebra superiore e della teoria delle forme, che ci proponiamo di pubblicare, ne di- 
mostrerà la superiore importanza. Ora, siccome siffatta derivazione costituisce un sog- 
getto poco 0 nulla studiato, ci proponiamo qui di dichiarare le leggi generali dalle quali 
è regolata , ed a tal effetto andremo a risolvere la seguente quistione: 
Trovare lo sviluppo di una derivata parziale d' ordine qualunque del prodotto di 
funzioni di più variabili, espresso mediante le derivate parziali delle funzioni istesse. 
Indicheremo le variabili con ^, u, . . . , e le funzioni con a, x, • • • ; ed inoltre 
rappresenteremo le loro derivate parziali mediante la caratteristica D, dandole un in- 
dice superiore numerico eguale all'ordine di derivazione, ed un indice inferiore lette- 
rale formato dalla combinazione di altrettante variabili, cui si rapportano le derivazio- 
ni. Così, scrivendo D^a , D',^ « , I)\^„a , ecc. ecc., intendiamo le derivate di a prese o ri- 
spetto alla sola o rispetto a f ed m, o due volte rispetto a t ed una volta rispetto ad 
M, ecc. ecc. Posto ciò distingueremo due casi secondochè le derivazioni sono relative 
a variabili sempre diverse, o a variabili qualunque; ma la ricerca esige un'altra divisio- 
ne, secondo che le funzioni date sono o no tra loro differenti. 
I. — FUNZIONI DISUGUALI. 
Caso 1° — Derivazioni relative a variabili sempre diverse. 
2. In questa ipotesi si palesano subito le condizioni dello sviluppo della derivata 
d'ordine qualunque del prodotto delle date funzioni, esaminando le derivate di alcuni 
de' primi ordini, calcolale con la regola ordinaria per la derivazione de' prodotti, e po- 
nendo mente al modo come funziona questa regola nel passaggio da un ordine all'al- 
tro. Supponendo per fissar le idee tre funzioni a, ^, cercheremo le derivate de' primi 
