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Irò oiilini ; e quindi, derivando prima rispetto a indi rispetto ad m, e da ultimo ri- 
spetto a r, avremo successivamente 
D,(a.S'/) = (D,«);5.y + (D,,S)av + (D,7)<5 
D\„ i-h) = (D^u «) h + (y>\u ^) 4- (I>^. v) + 
+ (D,«.D„|S)74-(I).'^-I)„7)S+(I\/3-I),//)- + (n,|3J)„.07+(I):7.D,,«),3 + (D^ 
D'.w.. («P7) = + «7 + (D^,„. 7) + 
^(I>^„«•D..p)7+(l^^,,«.I).7)^^+(I)^,,p•I\7)-+(D^J^.^ 
4- (I)V«-D,w5)7+a)V«.I).7)f^+(in,.5.D,,v)« + (^^^^^ 
^DV'''••I>^5)7 + (l^^..«■D,v)S+(D^„,,6.D,v)a + (D^,,,^..D^ 
+ (D,a . . D,7)4-(D.« . D„7 . D,|5)+(D, 3 . D,;/ . D„«)4-(r),3 . D„a . D,.v)+(D,y . D, « . D,P)+(D,v • D,,3 . . 
Abbiamo circondato di parentesi i fattori derivati per tenerli ben distinti da'fattori non 
derivati. 
3. In generale, se le funzioni date sono in numero di è evidente che nel bor- 
dine la derivata del loro prodotto contiene m termini , ognuno de' quali è di nuovo un 
prodotto di m fattoli; dunque nel 2° ordine la derivata conterrà nv termini, ciascuno 
di m fattori; quindi nel 3" ordine si avranno m'^ termini, ognuno di m fattori; ma a 
questo punto è manifesto che la derivata d'ordine qualunque n è un polinomio di 
?n" termini; ed ogni termine è sempre un prodotto di in fattori. Questi rn fattori non 
sono che le stesse 7n funzioni date, però tutte, o in parte, sottomesse a derivazioni; ed 
è chiaro che il numero totale delle derivazioni ne' singoli fattori di un termine è costan- 
te ed uguale ad n ; il che per la notazione adottata equivale a dire che in ogni termine 
la somma dogi' indici numerici delle caratteristiche D è uguale ad n. 
4. Un elemento fondamentale in questa ricerca è la forma de' termini, la quale è 
caratterizzata dal numero de' fattori derivati, e dagli ordini rispettivi di derivazione; 
di guisa che sono termini di una stessa forma quelli, ne' quali le derivazioni sono distri- 
buite tra un egual numero di fattori, e nella stessa misura. Così, per esempio, nella 
derivata di 3° ordine si hanno tre distinte forme di termini : nell'una le tre derivazioni 
si cumulano sopra un sol fattore; nell'altra si distribuiscono tra due fattori nella mi- 
sura di due e di una; e nella terza, fra tre fattori, una per ciascuno. 
E evidente che, se è dato un termine, sono da riguardarsi come conosciuti tutt' i 
termini che hanno la stessa sua forma; ed in effetti daremo tra poco il processo per co- 
struirli. Ora ciò vuol dire che la loro somma è una funzione determinata; ma questa 
proprietà segue direttamente dalla stessa natura della derivata. Cade sott' occhio che le 
derivale de' primi tre ordini sono funzioni sinunetriche , tanto delle funzioni a, p, y, 
quanto delle variabili m, v, ma è chiaro che il fatto è generale , perchè dipendente 
unicamente dal principio che l'ordine, con cui si succedono le derivazioni, è indiffe- 
rente. Trattasi però di funzioni simmetriche multiformi *), perchè composte di termini 
*; Diciamo uniforme una (unzione simmetrica quando è formata di termini di una sola forma, e mullifonne nel caso con- 
trario. Una funzione simmetrica uniforme e detei'minata, conoscendone un termine; e se ammette coeflicienti numerici, e^si saran- 
no necessariamente uguali tra loro. Egli è poi chiaro che una funzione simmetrica multiforme si può scindere in tante funzioni 
simmetriche uniformi quante sono le diverse forme di termini. 
