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di varie forme; e quindi dcfìomi)onii)ili in luiile funzioni simmetriche uniformi quante 
sono lo diverse forme di termini. Ora da ciò risulla immediatamente che nella derivata 
d'ordine qualun([ue la somnia di tutt'i termini di una stessa forma costituisce ima fun- 
zione simmetrica, la ([uale, per ciò solo che è uniforme, è determinata, conoscendone 
un termine qualunque. 
Queste considerazioni permettono di ridurre le espressioni delle derivate a forme 
più concise ed anche i)iù proprie; e per ciò basta che per ciascuna delle forme sia te- 
nuto in evidenza un termine solo al di sotto di un 2; . ed è così, per esempio, che le de- 
rivale de' primi Ire ordini si possono ridurre alle forme 
D^,„ P = 2 (D'-„^, «) Sv + i (D„ « . D„ ^) V 
5. Ma per applicare queste forme compendiate è necessario a conoscersi le forme 
possibili di termini per un ordine qualunque. Ora la forma di un termine dipende dal 
numero de' fattori derivati e dagli ordini rispettivi di derivazione, e quindi è definita 
dal sistema degl'indici numerici delle caratteristiche D, o da un simbolo formato dal 
complesso di tutte queste caratteristiche co' rispettivi indici superiori. Per esempio, se 
il sistema degl'indici è quello de' quattro numeri (3, 2, 1, 1), vuol dire che si tratta di 
termini, ne' quali si hanno quattro fattori derivati, uno tre volte, uno due volte, e gli 
altri due ciascuno una volta, e quindi la loro forma è completamente determinala dal 
simbolo (D^D-DD). 
Posto ciò, siccome la somma degl' indici superiori delle D è costante per tutl'i ter- 
mini, ed in generale eguale ad n, segue che questi indici formano una partizione del 
numero n; e da ciò risulta senza più, che le forme possibili di termini nell'ordine n sono 
appunto definite dalle partizioni din. Così nel 3° ordine queste forme sono definite dalle 
partizioni di 3, cioè [3, 21, 111], o da' simboli [(D^) , (D-D) , (DDD)]. 
Tuttavolta è a tener conto di una limitazione dipendente dal numero delle date 
funzioni a, p, y, . . . , numero che abbiamo indicato con m. Siccome ogni termine è un 
prodotto di m fattori, il numero di fattori derivati è, lutto al più, eguale ad m; e per- 
ciò le partizioni di n, le quali determinano le forme de' termini, sono quelle che con- 
tengono, o una parte, o due parti, o tre parti, ecc. ecc., fino ad m parti; o, in bre- 
ve, sono tulle le partizioni di ordine non superiore ad m : e può quindi enunciarsi la 
seguente proposizione : 
Nella derivata parziale d' ordine n del prodotto di m funzioni, relativa ad n varia- 
bili diverse, le forme de' termini sono definite da tutte le partizioni del numero n, d'ordine 
non superiore ad m. 
Atti — Vo/. 17//.— N.o 1. 
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