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6. Polendo essere opportuno un esempio, cercheremo la 
derivata di G" ordine del prodotto di quattro funzioni a, y, 5, 
relativa alle sei variabili «, r, cr, y, s. Se le funzioni date fos- 
sero sei, 0 in qualunque altro numero maggiore di sei, le for- 
me de' termini sarebbero tante quante sono le partizioni di 6 
di tutti gli ordini dal T al G"; e queste partizioni, in numero 
di undici , sono (pielle che abbiamo notate a fianco, co' corri- 
spondenti simboli letterali. Ora, le funzioni date essendo quat- 
tro, bisogna tener conto delle partizioni de' primi quattro or- 
dini, che sono in numero di nove, sicché restano inoperose le 
due ultime partizioni, Tuna di 5" l'altra di 6" ordine; nel caso 
attuale adun([ue le forme de' termini si riducono a nove; ed in 
conseguenza l'espressione della derivata di 6° ordine del prodot- 
to di quattro funzioni, in forma compendiata, sarà la seguente: 
G 
51 
(D'D) 
42 
(D^D^) 
33 
(D^D^) 
ili 
(D^DD) 
321 
(D'D-D) 
222 
(D^D-D^) 
3111 
(D'DDD) 
2211 
(ì)'D^Dl)) 
21111 
(D-DDDD) 
nini 
(DDDDDD) 
Questa espressione, scritta per esteso, non conta meno di i''=i096 termini. 
7. Per completare la ricerca resta a vedersi quanti e quali sono i termini com- 
presi sotto una stessa forma. Posto che le m funzioni date siano figurate dalle m lette- 
re, 9j , 9.^ , . . . , 9,„, e che w, t;, 03, . . . , z siano le n variabili impegnate nelle deriva- 
zioni, si tratta di risolvere la seguente quistione: 
Supponendo che il numero n sia decomposto in y parli, uguali o disuguali, n|n„,...,n,., 
ed r non maggiore di m, costruire tutt'i termini compresi sotto la forma definita dalla par- 
tizione n, n.j + • • • + Or 5 0 dal simbolo corrispondente 
D ' D ^ . . D ") • 
Volendo con questo simbolo formare un termine a piacere, basta sottoporre alle r 
caratteristiche D, una per parte, r lettere prese ad arbitrio tra le m lettere 9, , 9^ , . . . , 9,,, , 
e quindi dare per indice inferiore alla prima D una combinazione di n, variabili qua- 
lunque; alla seconda D un'altra combinazione di n„ variabili diverse dalle prime; e 
così di seguito. Veramente il termine così formato è incompleto, perchè vi mancano i 
fattori non derivati, vale a dire le altre m—r lettere 9 non incluse nel simbolo; ma, sic- 
come questi fattori possono supplirsi quando si voglia, per semplicità terremo momen- 
taneamente siffatte espressioni come termini perfetti, salvo a completarle a calcolo 
finito. 
Posto ciò, si formino da un lato le disposizioni r ad /■ delle m lettere 9, , 9, , . . . , 9^.^; 
da un altro lato le partizioni distinte delle n variabili in r gruppi di w, ^n.^^ . . . ,nr va- 
riabili (V. la nota precedente intorno alla partizione di lettere)^ e sia A il numero delle 
prime ed quello delle seconde. Ora, per costruire ordinatamente il completo sistema 
