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Applicando queste forinole alla derivata di 6" ordine del prodotto di ({uattro fun- 
zioni (n." (i), per cui /^ — G , m-r 4, si ha 
T<'"(6) = 4 = 1.4 =4 ; '^^'(411) =-^4.3.2 =15.24= 360 
T<<'(51)= 4.3=0.12 = 72 ; T*'" (321) = 4.3.2 =60.24 = 1440 
T<^' (42)= ■^—4.3 = 15.12 = 180 ; T<^>(232) = -^^^ 4.3.2 =15.24= 360 
r*^ Pi 
T<''>(33)=^y^,4.3 = 10.12 = 120 ; T<-'>(3111)= ^^^^ 4.3.2. 1=20.24= 480 
6' 
T'^' (221 1) = — ^ 4 . 3 . 2 . 1 = 45 . 24 = 1080 . 
Addizionando questi numeri, la somma deve riprodurre la potenza di 4, ed in effetti 
si trova eguale a 4096 = 4''. 
Caso 2° — Derivazioni relative a variabili qualunque. 
9. La forma dello sviluppo della derivata d'ordine n del prodotto di funzioni di 
più variabili, ottenuto nella ipotesi che le derivazioni si rapportino a variabili sempre 
diverse, resta evidente immutata se alcune delle variabili si suppongano eguali tra 
loro, poiché si hanno sempre le stesse forme di termini, e lo stesso numero di termini 
per ogni forma. Il solo divario tra' due casi sta in ciò che, se le variabili sono diverse, 
i termini sono tutti tra loro necessariamente dissimili, e non ammettono coeflicienti 
numerici diversi da 1; mentre, nel caso contrario, intervengono generalmente termini 
simili, e quindi le conseguenti contrazioni daranno origine a coefficienti numerici di- 
versi da 1. Posto ciò, ammessa la ripetizione delle derivazioni rispetto alle stesse va- 
riabili, la quistione, che ora ci proponiamo di risolvere è quella di determinare il coef- 
ficiente numerico di un dato termine appartenente a. qualunque forma. 
10. Considerando un termine qualunque nella ipotesi delle variabili disuguali , per 
esempio quello in cui figurano le r funzioni cp, ,<?;,,... ,9 , ordinatamente derivate 
n, ^n^, . . . , n^ volte rispetto a variabili sempre diverse, è chiaro che questo termine è 
uno di quelli che nascono immediatamente dal tipo 
(D'''y,lA.,...D">,.), (1) 
applicandogli le partizioni delle n variabili in r gruppi di n^, », , . . . variabili. Ora, 
se nella partizione, da cui risulta quel termine, si pongano « variabili uguali a 
p uguali ad n, . . . , e uguali a 5, ripartite però tra' gruppi, le prime nella misura di 
, , . . . , , le seconde nella misura di , p.^, . . . , , ecc. ecc. , la partizione potrà 
mettersi nella forma 
t'u\..z' ,t^uK..z\...,t '■tr...z\ (2) 
avendo scritto per brevità t ' per significare la lettera t ripetuta «, volte, ecc. ecc., e 
