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quindi, se si dinoLa con k il coofTicionlc numerico del termine, la sua espressione, com- 
pletala nncora co' (attori non derivati, sarà 
o con notazione attualmente più propria 
ed è poi manifesto che, in conformità delle ipotesi, si hanno le relazioni 
n,=a,+^, + ... + s, , = + + + 1 • • • , = + + ^ » 
(5) 
Posto ciò, sia I l'indice della partizione (2), e /.• il coefficiente del termine (3). Se 
la partizione non contiene gruppi ripetuti, l'espressione del termine cangia evidente- 
mente di valore, permutandovi in qualunque modo tra loro le lettere 9^,9^, . . . , 9 j ciò 
vuol dire che il termine non può nascere da alcuno degli altri tipi risultanti da siffatte 
permutazioni, di modo che si trova esclusivamente tra quelli provvenienti dal tipo (1); 
e quindi, siccome tra questi termini deve riprodursi tante volte, quante volte si può 
ripetere la partizione (2) nel sistema completo delle partizioni delle n lettere, cioè I 
volte (nota intorno alla j)arti:iìOìie di lettere), ne segue che nel caso attuale si ha sem- 
plicemente = ma per la teoria della partizione di lettere si ha 
a,!a,!...a,lX|3,!p,!...i3.!X...X^x'--^!...^! ' ^ ^ 
adunque, osservando alle relazioni (5), risulta che quando nel termine (3) non vi sono 
indici inferiori ripetuti, il suo coefficiente k è definito dalla formola 
«,!aJ....a^!XP.!pj...S^!X...X^,!=2!.-.^, 
11. Ammettiamo ora che nella partizione (2) vi siano gruppi ripetuti, e supponia- 
mo dapprima che siano eguali solamente i primi X gruppi; ciò importa che nel termi- 
ne (3) saranno uguali gì' indici inferiori delle prime X caratteristiche D, e conseguen- 
temente anche eguali tra loro saranno i corrispondenti indici superiori n^ , , . . . ,n, . 
Poste queste condizioni, è evidente che l'espressione del termine non cangia di valore 
comunque si permutino tra loro le lettere 9^ , 9^ , . . . , 9, ; il che dimostra che il detto ter- 
mine si riproduce in tutti i X! tipi risultanti da siffatte permutazioni; ma in ogni tipo 
deve sempre riprodursi I volte; dunque, in tutto, il termine si ripete IX ^' "volte; e per- 
ciò nella ipotesi attuale si ha k=\^l.\. Per semplicità abbiamo supposto che nella par- 
tizione (2) vi fosse una sola specie di gruppi ripetuti; ma ora è chiaro che, se vi sono i 
specie di tali gruppi, e siano X, , X^ , . . . , X, i loro esponenti, si avrà in generale 
