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Nel caso presente, per ottenere l'espressione dell'indice I bisogna dividere il secondo 
membro della formola (7) pel prodotto Xi!X2!..X,!; ma siccome per avere il valore di 
A- bisognerebbe moltiplicare il quoziente per lo slesso prodotto, avviene che questo 
prodotto sparisce, e si giunge così alla conseguenza importante che il coefiìciente del 
termine (3) è in ogni caso definito dalla formola (7). 
12. Siccome il coefiìciente k costituisce un elemento di calcolo che ha una estesa 
influenza, tornerà utile di ridurre la sua ricerca ad una regola, che ne dà immediata- 
mente il valore. Chiamando esponente totale di derivazione di una variabile il numero 
complessivo delle derivazioni relative a questa variabile *), ed esponente parziale il nu- 
mero di quelle attribuite ad una singola funzione, la formola (7) si traduce in questo 
canone: 
// coefficiente di un dato termine , appartenente alla derivata d'ordine qualunque del 
prodotto di funzioni di più variabili, equivale al prodotto de' fattoriali degli esponenti to- 
tali di tutte le variabili, diviso pe' fattoriali de loro esponenti parziali. 
Applicando, per esempio, questo canone al termine 
T^3 -ns -n" -n n n ^"^i ^'?2 <^?i ^f. dy, 
si osserverà che gli esponenti totali delle variabili t ed u equivalgono rispettivamente 
a 3 4-3 = 6, e 2+1 + 1 + 1=5; e quindi, non tenendo conto de fattoriali di espo- 
si 5 ! 
nenti uguali ad 1, pel coefficiente di questo termine si ha subito k = 37^77^- 
Ancora, supposto il termine 
D3 1)3 D' ' T)" n- . — °- ^'^4 ^ 
^ tu ,.?, • ^ ,uv ?2 ■ tu ?3 ■ ^ ?i ■ ?5 - ^^^^^^^ • • ^^^^^ • ^^^y • ^^^y . 
si vede che l'esponente totale di ciascuna delle tre variabili f, u, u è uguale a 4; e, sic- 
come gli esponenti parziali sono tutti uguali ad 1, si ha semplicemente A-=:4!4!4! 
13. Se le variabili sono tutte eguali, per esempio a / , il termine (3) può mettersi 
nella forma 
(D"iy,D"^?,...D'"-yJy,.,.^,...^.,,, (8) 
potendo ora sopprimersi gl'indici inferiori delle caratteristiche D, perchè formati dalla 
t ripetuta tante volte quante sono le unità contenute nei corrispondenti indici superiori; 
ma, volendo tenere la variabile in vista, può adottarsi l'altra forma 
de dt"^ ' ■ ' di'"- °'" ■ ^ ^ 
') Si può osservare che il termine (3) o (1) appartiene allo sviluppo della derivata d'ordine 7i del prodotto Vi Va • • • fm^ presa 
a volte rispetto a t, ^ volte rispetto ad w , . . . , £ volte rispetto a j, o, secondo il nostro modo di esprimerci, appartiene allo svilup- 
po della derivata del detto prodotto relativa alla combinazione di variabili u^. e che è rappresentata da 
dt'^dv?...dz^ ' 
Ora è evidente che, per tutt'i termini appartenenti allo sviluppo di questa derivata, gli esponenti lolali delle variabili t,u,...,z 
sono appunto, e rispettivamente, gli esponenti di dt,du,...,dz, ovvero gli esponenti delle stesse variabili nella combinazione 
